juan1480

Un sistema matemático consta de axiomas, definiciones y términos no definidos. Se suponen verdaderos los axiomas. Las definiciones se utilizan para crear conceptos nuevos en términos de los existentes. Algunos términos no se definen en forma explicita, sino que se definen en forma implícita mediante los axiomas. Dentro de un sistema matemático es posible deducir teoremas. Un Teorema es unaproposición cuya verdad se ha demostrado.
Un argumento que establece la verdad de un teorema es una demostración. La lógica es una herramienta para el análisis de las demostraciones. En esta sección describiremos dos métodos generales de demostración: Directa y por contradicción.
Si una fórmula tiene la forma A → B y es una tautología, en donde A y B pueden ser proposiciones compuestas, entoncesdecimos que B se desprende lógicamente de A y se representa por A |= B.
También podemos considerar tautologías de la forma (p1 p2 ^ … ^ pn)→ q
Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende lógicamente de p1,p2,…,pn. Se escribe.
p1 , p2 , … , pn |= q
o también
p1
p2
.
.
.
pn____
qSignifica que si se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera ,…, y pn también es verdadera, entonces estamos seguros que q es verdadera.
Prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos por implicaciones de este tipo. Donde p1, p2, … son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión. Demostrar el teorema, es demostrar que la implicación es una tautología. Note que noestamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las p1, p2, … son verdaderas.
Una demostración directa comienza con las hipótesis, seguidas de las tautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión.
A continuación veremos lo que es una prueba condicional. En este caso la conclusión es un enunciado de la forma A→ B ; en este caso demostrar que la condicional sedesprende de un conjunto de premisas P1, P2, … Pn es equivalente a probar que B de desprende de las premisas junto con A, la cual se llama premisa adicional.
Esto lo podemos expresar en el siguiente teorema.
P1, P2, … , Pn |= (A → B) es equivalente a
P1, P2, … , Pn, A |= B.
Ejemplo 1. Demustre el argumento
p → ¬q, q ∨ ¬r, s → r |= p → ¬sDemostración:
1. p → ¬q Premisa
2. q ∨ ¬r Premisa
3. s → r Premisa
4. p Premisa Adicional
5. ¬q MPP(1,4)
6. ¬r SD(2,5)
7. ¬s MTT(3,6)Demostración por contradicción.
El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo de la demostración es llegar a unacontradicción.
La demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es como se indica
p → (q ^ r), (q ∨ s) → t, (p ∨ s) |= t
Demostración:
1. p → (q ^ r) Premisa
2. (q ∨ s) → t Premisa
3. p ∨ s Premisa
4. ¬t Premisa Adicional
5. ¬(q ∨ s)MPP(2,4)
6. ¬q ^ ¬s Ley de Morgan(5)
7. ¬q LS(6)
8. ¬s LS(6)
9. p SD(3,8)
10. q ^ r MPP(1,9)
11. q LS(10)
12. q ^ ¬q...