Juana De Arco

Completación de cuadrados.
En esta oportunidad vamos a explicar la técnica de completación de cuadrados, técnica útil en varias áreas de las matemáticas, (resolución de ecuaciones de 2do grado, cálculo integral, transformadas de laplace, etc.).
Para comprender mejor este método, nos enfocaremos primero en las ecuaciones del tipo

Aunque esta técnica no se limita a este tipo de expresiones.Los siguientes pasos van a estar enfocados en expresiones cuadráticas de la forma x^2 + bx + c = 0, o sea, cuando el coeficiente a = 1. En los ejemplos posteriores a estos pasos se mostrará como trabajar cuando a≠1. Es sencillo, así que no te preocupes.
Pasos para realizar la completación de cuadrados.
* Se selecciona el valor absoluto del término b, es decir, aunque este término sea negativosiempre lo tomaras positivo.
* Divides este término por 2 y a esa expresión la elevas al cuadrado. Ejemplo (b/2)^2.
* Suma y resta este nuevo término a la expresión dada.
* El primer término agregado se simplifica, osea, se simplifica la fracción que está dentro del paréntesis siempre y cuando esto sea posible, el segundo término se desarrolla.
* A los tres primeros términosse le completa cuadrado, a los dos últimos se le realizan operaciones.
* Para completar cuadrados se procede como sigue; se le calcula la raíz cuadrada al primer término, luego coloca el signo del término b, seguido de la raíz cuadrada del tercer término, que justamente va ser la expresión simplificada dentro del paréntesis. Toda esta expresión que calculaste se eleva al cuadrado.
* Ambasexpresiones, la resultante de los tres primeros términos y la de los dos últimos será tu completación de cuadrados.

ejemplo 1, si a=1

se procede de la siguiente manera:

Ejemplo 2, si a≠1.

En este caso es necesario extraer el coeficiente del término cuadrático, aunque este no sea factor común de la expresión.

Ejemplo 3, si a≠1.

En esta última expresión debemos advertir que lafracción no se puede simplificar como en los casos anteriores, a demás, recuerde que dividir por dos es igual a multiplicar por 1/2.
Entonces (8/3)*(1/2) = 4/3

Otraa..
Ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática es de la forma: ax2+bx+c=0, donde a, b y c son constantes reales y a 0.Para resolverla existen diferentes métodos, los cuales revisaremos a través de algunos ejemplos.
1.RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
i.- Por factorización:
Resolver la ecuación: x2 - 12x - 28 = 0
Factorizamos el trinomio recordando el producto de binomios con un término común, es decir, buscando dos números cuyo producto sea –28 y cuya suma sea –12; estos números son -14 y 2, y la factorización es:
(x - 14)(x + 2) = 0
Por lo tanto, las soluciones son X1 = 14 y X2 = -2
ii.- Utilizando lafórmula de resolución: 
Para resolver la ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0,podemos utilizar la fórmula:

Ejemplo:
Resolver la ecuación:
x2 – 10x +24 = 0
Solución: Primero identificamos los coeficientes a, b y c y luego los reemplazamos en la fórmula:
 a = 1; b = -10 y c = 24 

 
iii.- Por completación de cuadrados
Ejemplo:
Resolver la ecuación: x2 – 6x + 8 = 0
Solución: Con lostérminos x2 y –6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3) 2 , pero nos faltaría el término igual a 9, por lo tanto, despejaremos los términos que contienen  x  y sumaremos 9 a ambos lados de la igualdad para formar el cuadrado de binomio:
x2 – 6x + 8 = 0   /-8
x2 – 6x = -8       /+9
x2 - 6x + 9 = -8 + 9
(x – 3) 2 = 1
De la última igualdad se deduce que x –3 = 1 ó x – 3 = -1, por lotanto  X1 = 4 ó X2 = 2
2. PLANTEO DE PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRÁTICAS
En el primer módulo vimos algunas resoluciones de problemas utilizando ecuaciones de primer grado. Ahora veremos algunos problemas cuyos planteamientos conducen a ecuaciones cuadráticas.
Ejemplo 1:
Determinar un número entero tal que el cuadrado del antecesor de su doble sea equivalente al cuadrado del número...