juandirectionernumerouno

Tema 3

Derivadas Parciales y Derivadas
Direccionales
En este tema y en el siguiente presentaremos los conceptos fundamentales del C´lculo
a
Diferencial para funciones de varias variables.
Comenzaremos con las definiciones y c´lculos de las derivadas parciales y direca
cionales, present´ndose el concepto de diferenciabilidad, m´s complejo que el correspona
a
diente al C´lculo en unavariable real, en el tema pr´ximo.
a
o

3.1

Derivadas Parciales

Presentaremos en primer lugar la definici´n de derivadas parciales para una funci´n
o
o
escalar de dos variables.
Sea f (x, y) una funci´n escalar de dos variables reales definida al menos en un entorno
o
del punto (x0 , y0 ). Se define la derivada parcial de f (x, y) con respecto a x en el punto
(x0 , y0 ) como el siguientel´
ımite (si existe):
∂f
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
h→0
∂x
h
De manera an´loga, definiremos la derivada parcial con respecto a y:
a
f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 )
∂f
(x0 , y0 ) = lim
h→0
∂y
h
De estas definiciones se deduce f´cilmente que el c´lculo efectivo de una derivada parcial
a
a
con respecto a a una variable es id´ntico al de las derivadas ordinarias,sin m´s que
e
a
considerar el resto de las variables involucradas como constantes.
Desde el punto de vista geom´trico, y teniendo en cuenta que la gr´fica de una funci´n
e
a
o
f (x, y) se visualiza como la superficie de ecuaci´n: z = f (x, y), las derivadas parciales ∂f
o
∂x
19

20

´
´
CALCULO / INGENIERO GEOLOGO / TEMA 3

y ∂f en (x0 , y0 ) representan las pendientes de lasrectas tangentes a las curvas intersecci´n
o
∂y
entre dicha superficie y los planos y = y0 y x = x0 , respectivamente, en el punto
(x0 , y0 , z0 ), siendo z0 = f (x0 , y0 ).
De esta manera, si las derivadas parciales existen en el punto, la ecuaci´n del plano
o
1 ser´
tangente
ıa:
z = z0 +

∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 ) (y − y0 )
∂x
∂y
y y0

f x,y

x x0
y
x

Figura1: (izquierda) Curvas sobre la superficie z = f (x, y), obtenidas al cortarla con los planos
x = x0 e y = y0 .

(derecha) Plano tangente a la superficie en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).

Como vemos, la derivabilidad de una funci´n f (x, y) se va a relacionar de manera
o
directa con la existencia y “correcto” comportamiento del plano tangente a su gr´fica.
a
Resulta evidente, en cualquiercaso, que para superficies del tipo a las presentadas en la
siguiente figura (con “picos”, o “dobleces”, el plano tangente no estar´ bien definido).
a

Generalicemos la definici´n de derivada parcial al caso de n variables:
o
Definici´n: Sea f (x), f : Rn → R, una funci´n escalar de n variables reales, x =
o
o
2 de x ∈ Rn . Se define la derivada parcial
(x1 , . . . , xn ), definida al menos enun entorno
0
de f con respecto a xj en x0 como el l´
ımite (si existe):
1

Suponiendo que dicho plano existe y que est´ bien definido, lo cual no siempre es cierto, aunque las
e
derivadas parciales s´ que existan. Aclararemos estas ideas en el pr´ximo tema.
ı
o
2
Recordemos que un entorno de un punto x0 ∈ Rn es todo conjunto abierto que contenga una bola
abierta centrada en x0 , esdecir: U ⊃ Br (x0 ), con:
Br (x0 ) = {x ∈ Rn / x − x0 < r }

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´
´
CALCULO / INGENIERO GEOLOGO / TEMA 3

f (x0 + huj ) − f (x0 )
∂f
(x0 ) = lim
h→0
∂xj
h
donde uj = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) denota al vector j-´simo de la base can´nica de Rn .
e
o
Si denotamos: x0 = (x0 , x0 , . . . , x0 ), podemos escribir, de forma expl´
ıcita:
n
1 2
f (x0 , . . . , x0 + h, . . . ,x0 ) − f (x0 , . . . , x0 )
∂f
n
n
1
1
j
(x0 ) = lim
h→0
∂xj
h
Una vez definida la derivada parcial en un punto, es directo definir la funci´n derivada
o
parcial:
Definici´n: Sea f : Rn → R definida en un conjunto abierto U de Rn , se define la
o
∂f
funci´n derivada parcial respecto de la variable i-´sima ∂xi , Dxi f o fxi , como la funci´n
o
e
o
∂f
tal que a cada punto x0 ∈ U le...