Juarez

Sistemas de ecuaciones lineales1
En este documento estudiaremos sistemas de ecuaciones lineales 2 × 2, es decir, de dos
ecuaciones y dos incognitas. Estos sistemas tienen la siguiente forma: ´a11x + a12y = ba21x +1a22y= b2
Sistema de ecuaciones lineales
El problema a resolver es encontrar el valor de las incognitas ´ x, y tales que las dos
ecuaciones sean verdaderas.
En un sistema deecuaciones lineales siempre tenemos solo uno de los tres casos siguientes:
1. El sistema tiene una unica soluci ´ on. ´
2. El sistema no tiene solucion. ´
3. El sistema tiene mas de una soluci ´ on (infinidad de soluciones). ´
Los metodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales se ve ´ ran a continuaci ´ on, ´
sin embargo, todos ellos nos deben de dar la misma solucion. ´
2Antes de revisarlos metodos podemos mencionar un criterio que nos permitir ´ a saber ´
si el sistema tiene o no, una ´ unica soluci ´ on: ´
El sistemaa11x + a12y = b1a21x + a22y = b2
tiene una unica soluci ´ on si y s ´ olo si ´
a11a22 − a12a21 = 0 6
Solucion´ unica ´
Si a11a22 − a12a21 = 0, y
1. a11, a12, b1 son multiplos de ´ a21, a22, b2, respectivamente. Entonces el sistema tiene
una infinidad desoluciones.
2. a11, a12 son multiplos de ´ a21, a22 respectivamente, pero b1 no lo es de b2. Entonces
el sistema no tiene solucion. ´
Ejemplos:
Ejemplo 1 Consideremos el sistema2x + 3y = 13x − y = −1
como (2)(−1) − (3)(3) = −2 − 9 = −11 = 0 6 , entonces el sistema tiene una unica ´
solucion. ´
Ejemplo 2 Consideremos el sistema3x + 4y = 46x − 2y = 2
como (3)(−2) − (6)(4) = −6 − 24 = −30 = 0 6 ,entonces el sistema tiene una
unica solucion. ´
Ejemplo 3 Consideremos el sistema2x + y = 64x + 2y = 1
3como (2)(2)−(4)(1) = 4−4 = 0, entonces el sistema NO tiene una unica soluci ´ on, ´
pero como 4x + 2y es el doble de 2x + y, pero 1 no es el doble de 6, el sistema NO
tiene solucion. ´
Ejemplo 4 Consideremos el sistema3x − 3y = 2 x − y = 5
como (3)(−1) − (−3)(1) = −3 + 3 = 0, entonces elsistema no tiene una unica ´
solucion. Y como la primera ecuaci ´ on es el triple de la segunda, pero ´ 2 no es el
triple de 5. Tenemos que el sistema no tiene solucion. ´
Ejemplo 5 Consideremos el sistema12x +13y = −332x + y = −1como (12)(1) − (13)(32
) = 0, entonces el sistema NO tiene una unica soluci ´ on. Y ´
como la segunda ecuacion es el triple de la primera, incluyendo la constante,por ´
lo tanto el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones.
4Metodo de sustituci ´ 2on ´
El metodo de sustituci ´ on trabaja de la siguiente manera: ´
1. De la primera ecuacion se despeja una inc ´ ognita, digamos ´ x.
2. Se sustituye la incognita despejada en la segunda ecuaci ´ on. ´
3. Se reduce la segunda ecuacion, y se encuentra el valor de ´ y.
4. Finalmente se sustituye elvalor de y, en la ecuacion del paso 1, y se encuentra ´ x.
Es posible cambiar de incognita. ´
Ejemplos:
Resolver el sistemax + y = 1x − y = 1
Ejemplo 2.1
Paso 1 Despejamos de la primera ecuacion a ´ x, entonces x = 1 − y.
Paso 2 Sustituimos a x = 1 − y, en la segunda ecuacion: ´x − y = 1(1 − y) − y = 1
5Paso 3 Reducimos la ecuacion anterior: ´(1 − y) − y = 11 − 2y = 11 − 1 = 2y0 = 2yde donde y= 0.
Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = 0, en la ecuacion del paso 1, ´ x = 1−y. Entoncesx = 1 − (0)= 1.
Paso 5 Por tanto la solucion del sistema es: ´x = 1 y = 0
Resolver el sistema2x + y = 33x + 2y = 2
Ejemplo 2.2
Paso 1 Despejamos de la primera ecuacion a ´ x, entonces x =3 − y2.
Paso 2 Sustituimos a x =3 − y2
, en la segunda ecuacion: ´3x + 2y = 23(3 − y2) + 2y = 2
66Paso 3Reducimos la ecuacion anterior: ´3(3 − y2) + 2y = 292−32y + 2y = 292+12y = 212y = 2−9212y = −52y = −5de donde y = −5.
Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = −5, en la ecuacion del paso 1, ´ x =3 − y2.
Entonces x =3 − (−5) 2=82= 4.
Paso 5 Por lo tanto la solucion del sistema es: ´x = 4 y = −5
Resolver el sistemax − y = −1 2x − 3y = 5
Ejemplo 2.3
Paso 1 Despejamos de la...