Juasjuas

Relaciones de
equivalencia

Definición

Relaciones de equivalencia
Sea A un conjunto no vacío en el conjunto Universal U.
Una relación binaria R sobre A, es una relación de equivalencia
si Rsatisface las tres propiedades:


R es reflexiva



R es simétrica



R es transitiva

Ejemplos

Relaciones de equivalencia
1) La relación R sobre Z definida por: a R b  a – b esmúltiplo de
3.
2) Sea k, la relación R sobre Z: a R b  a – b es múltiplo de k.
3) Dado un conjunto D  U, la relación: A R B



4) Sobre los números reales , la relación R:

xRy

x–yZ

(x,y) R (a,b)



x.y = a.b

5) La relación R sobre 2 definida por:

AD=B D

6) La relación R sobre Z2 definida por: (m,n) R (p,q)  m+q = n+p
Una relación de equivalenciaidentifica los elementos de un conjunto que
satisfacen una misma propiedad y los llama elementos equivalentes.

Partición de un conjunto

Definición:
Sea A un conjunto no vacío. Sean

A j  A y Aj , j  J, J  Ν

Diremos que P es una partición de A y escribimos Ρ  A j 

 A j A

jJ

y

Ai  A j  i, j  J, i  j

Cada subconjunto Aj es una celda de la particiónEjemplos:
1) Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} una partición P de A, con 3 celdas, es
P = { {1,3}, {4}, {2,5} }, donde A1={1,3}, A2={4}, A3={2,5}.
En efecto {1,3} {4}=

 {1,3}  {2,5}=   {4}  {2,5}=.Además {1,3}  {4} {2,5} = {1, 2, 3, 4, 5} = A

si:

Partición de un conjunto

Ejemplos:

2) Sea A = {1, 2, 3, 4} una partición P de A con 2 celdas es
P = { {1}, {2,3,4} },

donde A1={1},A2={2,3,4}.

En efecto
{2,3.4}  {1} = 



{1}  {2,3,4} = {1, 2, 3, 4} = A

Ejercicios
Ejercicio 1:

Determine todas las particiones posibles para el conjunto
A = {1, 2, 3}
Ejercicio2:

Determine el número de particiones distintas para el conjunto
A = {1, 2, 3, 4} con exactamente dos celdas.
Para pensar:

Cuente todas las particiones distintas del conjunto
A = {1, 2, 3,...