Juegos bipersonales de suma nula

Juegos bipersonales de suma nula

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Los juegos bipersonales de suma nula (JBSN) son los juegos más simples: dos jugadores se enfrentan, y lo que uno gana en el juego es lo que el otro pierde. De ahí sale el termino "suma-nula": si se suman los pagos de los jugadores la suma es cero.
Para un JBSN, la manera más sencilla de representación es laforma estratégica, la función del jugador 1 es el negativo de la del jugador 2, en esta manera podemos poner nuestra atención sobre la función de pago del jugador 1. La representación estratégica es sin embargo apropiada cuando la información de los jugadores es estática, si es dinámica es mas apropriáda la representación extensiva que nos muestra la evolución de la información.

Forma estratégicaLa forma estratégica de un JBSN es dada por una tripla (X,Y,u) donde
1. X es un conjunto no vacío, el conjunto de estrategia del jugador 1
2. Y es un conjunto no vacío, el conjunto de estrategia del jugador 2
3. u es una función de valores reales definida sobre X×Y
(u(x,y) es un numero real para cada x ∈ X y cada y ∈ Y)
El jugador 1 elige x y el jugador 2 elige y, cada uno inconsciente delo que ha elegido el otro. Al final u(x,y) representa lo que ha ganado 1 y ha perdido 2 (al revés si u(x, y) es negativo).
Un JBSN en forma estratégica, (X,Y,u) se puede representar con una matriz que representará las utilidades del jugador 1, porque las del jugador 2 son iguales pero con un cambio de signo. Si [pic]y [pic], pues la matriz, que llamamos matriz de pagos, es:
[pic]
Donde aij =u(xi,yj)
En esta forma, el jugador 1 elige una riga y el 2 una columna, y 2 paga 1 el valor correspondiente. Una estrategia mixta por el jugador 1 puede ser representada de una m-upla [pic]de las probabilidades asociadas a cada riga. Si 1 utiliza la estrategia mixta p y 2 elige la columna j la media de pagos es [pic]. Símilmente una estrategia mixta para el jugador 2 sera una n-upla [pic]. Engeneral si 1 utiliza la estrategia mixta p y 2 utiliza q, la media de pagos al jugador 1 será [pic].
Criterio maximin
Decimos que los elementos de la matriz de pagos son beneficios. Por supuesto el jugador 1 intentará maximizar la función u, mientras que 2 intentará minimizarla. Para el jugador 1 el criterio consiste en elegir la estrategia que maximice el menor de los valores de u. Es decir, 1 suponeque 2 elegirá la estrategia más desfavorable para él, y se asegura de que, en tal caso, obtendrá el máximo beneficio posible. En este caso, no podemos decir que el criterio sea pesimista, porque realmente es así como se desarrollará el juego: como 2 gana lo que 1 pierde, intentará minimizar u, mientras que 1 intentará maximizarla.
Definición:
Se definen
Valor maximin:
V1 = maximinjaij
Valormínimax:
V1 = minjmaxiaij

Con estas definiciones, se verifica que [pic].
En hecho, dados i*, j* se cumple que
[pic]
con lo cual
[pic]
Por tanto:
[pic]
El valor del juego (lo que obtiene 1 = lo que pierde 2) será un valor en [V1,V2], puesto que 1 espera conseguir al menos un pago de V1, y 2 espera que el resultado del juego sea como mucho V2.
Intuitivamente, cuando ambos jugadoresbusquen el mismo valor, el juego estará resuelto, porque ambos están de acuerdo. Es decir, si V1 = V2 = V, es claro que el valor resultado del juego será V.

Ejemplo: "Pares o mones"
Los jugadores I y II simultáneamente dicen uno de los números 1 o 2. El jugador I gana si la suma de los dos números es nones y el jugador II gana si la suma es pares. Lo que uno gana y lo otro pierde el el valor indolares de la suma de los dos números. Ponemos el juego en forma estratégica: X={1, 2} y Y={1, 2} y A es la siguiente matriz:
[pic]
Analizamos el juego desde el punto de vista del jugador 1. Suponemos que el dice 1 3/5 de las veces y 2 2/5 del las veces en manera casual. En esto caso,
1. Si II dice 1, I pierde 2 dolares 3/5 de las veces y gana 3 dolares 2/5 de las veces; en media el gana...