Juegos de Estrategia Matematica

Juegos de estrategia
José H. Nieto (jhnieto@yahoo.com)

1.

Introducción

Los juegos a los cuales nos referimos en este trabajo pueden conceptualizarse como sistemas que pueden estar en cierto número de estados, también
llamados posiciones del juego. Debe haber un estado inicial y uno o más
estados finales. El estado del juego puede cambiar como consecuencia de
las jugadas que realizanlos contendientes, siguiendo las reglas específicas
del juego. En los juegos bipersonales participan dos personas, a las cuales
convencionalmente se les llama A y B, o primer y segundo jugador, respectivamente. Una partida se inicia en el estado inicial, y su desarrollo consiste
en que A y B realizan jugadas de manera alternada, comenzando por A. Cada jugador, en su turno, tiene a sudisposición un número finito de jugadas
posibles y puede elegir cualquiera de ellas. Cuando se llega a una posición
final la partida finaliza y las reglas del juego determinan qué jugador es el
ganador, o si hay empate.
En lo que sigue se considerarán juegos que acaban siempre con un ganador
y un perdedor, es decir que no pueden finalizar en empate o prolongarse
indefinidamente (juegos infinitos) sinque ningún jugador logre vencer al
otro. También se supondrá que ambos jugadores tienen pleno conocimiento
del juego, de sus reglas y de las jugadas que cada uno ha realizado, es decir
que no hay jugadas ocultas ni interviene para nada el azar. A estos juegos
se les llama “juegos bipersonales finitos de información completa”.

2.

Un primer ejemplo sencillo

Para aclarar los conceptosintroducidos consideremos un juego muy simple, que se inicia con un montón de cuatro piedras. Cada jugador, en su
turno, puede retirar una o dos piedras del montón, y el primero que no pueda jugar porque el montón está vacío, pierde (equivalentemente, el que retire
la última piedra gana). Los estados de este juego son cinco, y se pueden
identificar mediante el número de piedras que haya en elmontón, a saber 4,
1

3, 2, 1 ó 0. El estado inicial es el 4 y el estado 0 es final. Al que le toque jugar y encuentre el estado final (montón vacío) pierde. Es claro que cualquier
juego finaliza con un ganador y un perdedor, pues el número de piedras en
el montón disminuye en cada jugada y tiene que llegar a 0.
Una posible partida es la siguiente: A retira dos piedras, B retira una
piedra, Aretira una piedra y gana. Inmediatamente se observa que B jugó
muy mal: si hubiese retirado dos piedras en vez de una hubiese ganado en la
segunda jugada. Más aun, A jugó mal al retirar dos piedras en su primera
jugada: retirando una no le hubiese dejado ninguna posibilidad de ganar a B.
En efecto, si luego de retirar A una piedra, B retira una, entonces A retira
dos y gana. Si en cambio Bretira dos, entonces A retira una y también gana.
Esto es lo que se llama una estrategia ganadora para A, es decir un sistema
de juego que le asegura la victoria, juegue lo que juegue B. Por supuesto
que en éste caso no hay ninguna estrategia ganadora para B, cuya única
esperanza de ganar consiste en esperar que A se equivoque y juegue mal.
Todas las partidas posibles en este juego puedenrepresentarse en forma
de árbol. El estado inicial es la raíz del árbol, y a cada jugada posible le
corresponde una rama que conecta dos estados. Le colocamos la etiqueta 1 o
2 a cada rama según que corresponda a la jugada de retirar una o dos piedras,
respectivamente. Los nodos que corresponden a estados finales son llamados
hojas, y no tienen hijos. Por alguna razón se acostumbra representar alos
árboles en forma invertida, es decir con la raíz arriba y las ramas hacia abajo.
El diagrama correspondiente a nuestro juego es por lo tanto el siguiente:
nivel 0
nivel 1
nivel 2
nivel 3

()*+
/.-,
4q
ww qqqq2
w
w
qq
w
ww
()*+
/.-,
()*+
/.-,
3S
2S
1 www SS2
1 ÙÙ SS2
w
S
S
Ù
w
w
Ù
w
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/.-,
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/.-,
()*+
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2 SS
1
1
0
1 ÙÙ S2
1
1...