juegos de perros

MODELOS DE PROBABILIDAD Y MUESTREO
ALEATORIO
Juli´an de la Horra
Departamento de Matem´aticas U.A.M.

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Introducci´
on

La Estad´ıstica Descriptiva nos ofrece una serie de herramientas muy u
´tiles
para resumir gr´afica y num´ericamente los datos que hemos obtenido sobre una
caracter´ıstica o variable de inter´es, X, de una poblaci´on. Estos res´
umenes
son muy interesantes, peroel objetivo de la Estad´ıstica habitualmente va
m´as all´a: pretende obtener conclusiones sobre la poblaci´on a partir de los
datos obtenidos en la muestra. La obtenci´on de conclusiones ser´a el objetivo
de la Inferencia Estad´ıstica y para su desarrollo necesitaremos los modelos de
probabilidad. En particular, ser´a necesario modelizar las variables de inter´es,
X, como variablesaleatorias. En este cap´ıtulo, presentaremos el concepto de
variable aleatoria (discreta y continua), y los modelos de probabilidad m´as
utilizados en la pr´actica. Finalmente, introduciremos las caracter´ısticas que
debe poseer una muestra aleatoria, para que podamos obtener conclusiones
razonadas sobre toda la poblaci´on.

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Variables aleatorias discretas

Una variable aleatoria discreta es unamodelizaci´on de una caracter´ıstica X
de tipo discreto.
Recordemos que una caracter´ıstica X es de tipo discreto cuando puede
tomar una serie de valores claramente separados x1 , ..., xk . En una muestra
concreta de tama˜
no n, cada uno de estos valores aparece n1 , ..., nk veces
(frecuencias absolutas). La frecuencia relativa de cada valor es fi = ni /n.
Definici´
on.- Una variablealeatoria, X, decimos que es de tipo discreto cuando puede tomar los valores x1 , ..., xk con probabilidades P (x1 ), ...,
P (xk ). Estas probabilidades reciben el nombre de funci´
on de masa o
funci´
on de probabilidad.
Las probabilidades son la modelizaci´on en la poblaci´on de las frecuencias
relativas. Igual que las frecuencias relativas, las probabilidades son n´
umeros
entre 0 y 1, y lasuma de las probabilidades es 1.

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Ejemplo.- Consideremos la variable X=“Resultado obtenido” al lanzar
un dado corriente con seis caras. Podemos enfrentarnos a esta variable de
dos maneras diferentes:
1. Datos muestrales. Lanzamos el dado n veces, y anotamos los resultados: obtenemos n1 veces el n´
umero 1,...,n6 veces el n´
umero 6. La
frecuencia relativa con la que hemos obtenido elvalor i es fi = ni /n. Si
lanzamos el dado muchas veces, seguramente las frecuencias relativas
ser´an todas ellas bastante parecidas a 1/6, si el dado est´a equilibrado.
2. Modelo te´
orico. Consideramos la variable X=“Resultado obtenido”
como una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores 1,...,6,
cada uno de ellos con probabilidad 1/6.
Cuando trabaj´abamos con variablesdiscretas en Estad´ıstica Descriptiva,
pod´ıamos calcular la media muestal y la varianza muestral. Si obten´ıamos
los valores x1 , ..., xk , n1 , ..., nk veces, respectivamente, ten´ıamos:
Media muestral = x¯ =

1 k
ni xi =
n i=1

k

fi xi
i=1

1 k
Varianza muestral = vx =
ni (xi − x¯)2 =
n i=1

k

fi (xi − x¯)2
i=1

Las definiciones de media y varianza para una variablealeatoria discreta
siguen la misma filosof´ıa, sustituyendo frecuencias relativas por probabilidades.
Definiciones.- Consideramos una variable aleatoria discreta X que puede
tomar los valores x1 , ..., xk con probabilidades P (x1 ), ..., P (xk ).
La media o esperanza de X se define como:
k

µ = E[X] =

xi P (xi )
i=1

La varianza de X se define como:
k

σ 2 = V (X) =

k

x2i P (xi ) −(E[X])2

(xi − E[X])2 P (xi ) = ... =
i=1

i=1

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Variables aleatorias continuas

Una variable aleatoria continua es una modelizaci´on de una caracter´ıstica X
de tipo continuo.
Recordemos que una caracter´ıstica X es de tipo continuo cuando puede
tomar cualquier valor en un intervalo de la recta real. En una muestra concreta de tama˜
no n, los valores obtenidos se pueden...