Juegos estaticos aplicado a la economia

Problema 1
Un ejemplo de equilibrio de Cournot:
Duopolio:
La demanda de mercado es P = 30 - Q, donde Q = Q1 + Q2
CM1 = CM2 = 0
Curva de reacción de la Empresa 1:
Ingresos totales, I1 = PQ= (30-Q)Q1
=30Q1-(Q1+Q2)Q1
=30Q1-Q12-Q2Q1
Img1=∆I1∆Q1=30-2Q1-Q2
Img1=0=Cmg1
Curva de reacción de la Empresa 1:
Q1=15-12Q2
Curva de reacción de la Empresa 2
Q2=15-12Q1Equilibrio de Cournot = Q1 = Q2
15-1215-12Q1=10
Q=Q1+Q2=20
P=30-Q=10

Problema 2
Considera dos empresas que compiten en el mismo mercado. Ambas eligen simultáneamente las cantidades a producir: q1; q2 ≥ 0. La función inversa de demanda de mercado es p (q) = max {0; 10 – q}, donde q = q1 + q2. Ambas empresas tienen la misma tecnología representada por la función de costes:Cqi=2qi+k si qi >00 si qi=0
Donde k Є [0; 16] es un coste fijo de producción (la publicidad, por ejemplo).
(a) Escribir el juego en su forma normal
Solución: { {1,2}, R+, R+,u1,u2} donde:

(b) Analizar el problema de la empresa 1 dado k y dada la oferta de la empresa 2. Calcular la función de reacción de esta empresa y represéntala gráficamente.
Solución. Si la empresa 1 produce 0 obtiene 0. Si esóptimo producir una cantidad positiva q1 > 0, entonces automáticamente se ha de verificar 10 - q1 - q2 > 0 (si no, sería mejor producir q1 = 0, una contradicción). ¿Cuál es esta cantidad positiva q1? Pues, como los beneficios en este caso son q1(10 - q1 - q2) - 2q1 - k la condición de primer orden (CPO) es:
8 – q2 – 2q1 = 0

Además, como es óptimo producir la cantidad positiva q1 > 0 (y no lacantidad 0), estos beneficios son positivos (o cero). Es decir, (8 - q2)2 ≥ 4k. Por tanto, q2 ≤ 8 – 2k. Así que,

(c) Calcular los equilibrios de Nash en estrategias puras en función de k.
Solución.
(i) Un posible equilibrio de Nash es cuando exactamente una empresa produce cero. Por ejemplo, q1 = 0. En este caso lo mejor para la empresa 2 es producir q2 = (8 - 0)/2 = 4. Esto le da un beneficioigual a:
4(10 - 0 - 4 - 2) - k = 16 - k ≥ 0.
Pero para que sea óptimo para la empresa 1 producir 0 cuando q2 = 4 necesitamos que 4 ≥ 8 - 2k, o sea, k ≥ 2. Es decir, k ≥ 4. Obviamente, cuando se cumple esta condición (k ≥ 4) también q1 = 4 y q2 = 0 constituyen un equilibrio de Nash.
(ii) Otro posible equilibrio es que las dos empresas producen cero. Producir 0 cuando lo hace la otra empresa esóptimo si y sólo si 0 ≥ 8 - 2k, es decir cuando k ≥ 16. Como sabemos que k Є [0; 16], concluimos que se da este equilibrio en el caso k = 16.
(iii) Finalmente, puede haber un equilibrio en el que las dos empresas producen una cantidad positiva. En este caso, q1 = (8 - q2)/2 y q2 = (8 - q1)/2. Entonces q1 = q2 = 8/3. Pero producir una cantidad positiva según la función de reacción es óptimo si ysólo si 8/3 ≤ 8 - 2k. Es decir, cuando 2k ≤ 8 – 8/3 = 16/3.
Es decir, cuando k ≤ 64/9 ≈ 7.11.
Problema 3
Tres empresas deben decidir si invertir en Investigación, Desarrollo e Innovación (I+D+I). Supongamos que toda empresa que invierte es exitosa y consigue una mayor cuota de mercado siempre y cuando las empresas competidoras no invierten. Si una empresa invierte mientras sus rivales no lo hacenésta tiene unos beneficios extraordinarios de 10 unidades monetarias (u.m.); las otras empresas tendrían unas pérdidas de 1 u.m. cada una, un pago de -1, representando así la pérdida de poder de mercado. Si dos empresas invierten, los beneficios extraordinarios se reducen a 5 y la empresa que ha decidido no invertir obtiene -2 u.m. Si ninguna invierte o si todas deciden invertir los beneficiosextraordinarios se reducen a cero.
(a) Escribir el juego en forma normal y la matriz de pagos del mismo.
Solución:

(b) Hallar lo(s) equilibrios de Nash y los pagos en equilibrio.
Solución: Se verifica que la estrategia I domina a la (única otra) estrategia NI ya que u1(I; I; I) > u1(NI; I; I), u1(I; NI; I) > u1(NI; NI; I), u1(I; I; NI) > u1(NI; I; NI), u1(I; NI; NI) > u1(NI; NI; NI)....