Juegos paradojicos

Juegos Paradójicos

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En el mundo científico resulta ya habitual oír hablar de la Juan Manuel Rodríguez Parrondo, investigador del Departamento de Física de la Universidad Complutense de Madrid. Dicho investigador saltó a la palestra en el año 99 tras formular su universalmente conocida paradoja. Dicha paradoja nace en el momento en el cualParrondo junto con sus colaboradores busca una explicación al inquietante e inesperado movimiento hacia la derecha en el que se ve envuelta una molécula celular sometida a dos impulsos aleatorios hacia la izquierda.

La paradoja, por poner un ejemplo muy sencillo, es la formulación matemática de la conocida máxima que dice que dos padres feísimos pueden tener hijas guapísimas. Pero como es lógico,este no es el ejemplo que utilizaremos para lanzar luz sobre esta interesante paradoja. Para verlo con claridad realizaremos un experimento en el que se vera con claridad como podemos llegar a construir un experimento aleatorio con tendencia a ganar, a partir de dos con la tendencia contraria.

Realizaremos por tanto dos juegos :


Juego A
Probabilidad de ganar Probabilidad de perder
1/2 - 1/2 + 


El primero consiste en el simple lanzamiento de una moneda sesgada. Supondremos que el jugador se encuentra en medio de una escalera. El jugador pretende llegar hasta arriba de la escalera por medio del juego. Si gana en el juego A, subirá un escalón y si pierde bajará uno.




Dado que la los sucesos acierto y fallo no son equiprobables, vemos claramente que este en un juegocon una tendencia al fallo y que de jugarlo un numero suficientemente elevado de veces llegaríamos hasta la base de la escalera. Así este juego parece muy tonto, de forma que para darle mayor dramatismo imaginémonos que el peldaño en el que se encuentra el jugador representa su capital. Si llega abajo a la base de la escalera se encontrara arruinado.







Proponemos ahora al jugador unsegundo juego algo mas complejo. En este juego hay dos monedas sesgadas con distintas probabilidades de acierto y de fallo cada una. Imaginémonos ahora que la escalera en la que se encuentra el jugador tiene los peldaños numerados. El juego B consistirá en que si el jugador se encuentra en el momento de realizar el juego en un peldaño múltiplo de 3 (se encontrara en un peldaño u otro según elresultado de aciertos o fallos en tiradas anteriores), lanzara una moneda con una clara tendencia a hacerle perder (probabilidad de acierto 1/10 -en caso de que no se encuentre en un peldaño múltiplo de 3 lanzara una moneda también sesgada, pero esta vez en su favor (probabilidad de acierto 3/4-).




Juego B
Es su capital múltiplo de 3?
NO SÍ


Moneda 2
Probabilidad de ganarProbabilidad de perder Moneda 3
Probabilidad de ganar Probabilidad de perder
3/4 -  1/4 +  1/10 -  9/10 + 





El jugador se podrá encontrar en tres situaciones, en un escalón múltiplo de 3, en escalón múltiplo de 3 + 1, o bien en escalón múltiplo de 3 + 2. Si el jugador se encuentra por ejemplo en el peldaño 8, la probabilidad de subir al 9 será de casi el 75%, puesto que tirara lamoneda buena y la de descender de casi el 25%. Vemos de esta forma que las tiradas se encuentran “encadenadas” al resultado precedente, con lo que tendremos aquí una cadena de Markov.

Intuitivamente pensamos que este será un juego con tendencia a ganar pues parece razonable el creer que emplearemos la moneda buena en 2 de cada 3 tiradas. Pero fijándonos bien vemos que la frecuencia no tieneporque ser esta, pues la moneda que empleemos vendrá determinada en función de la altura en escalones en la que nos encontremos. El siguiente ejemplo nos hace ver que la moneda mala se utiliza con mayor frecuencia que 1/3 :

Situándose el jugador en el peldaño 9, tira la moneda mala, con lo que tendrá casi el 90% de probabilidad de descender. Estando en el peldaño 8, lanza la moneda buena que le...