Juhuj

Tema 4

Dinámica de los sistemas de partículas
• Introducción: generalización de la 2ª ley de Newton

• • • • •

(1) Momento lineal de un sistema de partículas: principio de conservación (2) Momento angular de un sistema de partículas: principio de conservación (3) Centro de masas de un sistema de partículas (4) Energía cinética y energía total de un sistema de partículas (5) Colisiones1

_________________________________________________________________Tema 4

Introducción: Generalización de la 2ª Ley de Newton
Queremos extender en este tema los conceptos que hemos visto en los temas anteriores, pasando del caso de una sola partícula a un sistema con varias (N) partículas. Trataremos de extender los conceptos vistos así como los teoremas a aplicar. Para una sola partícula(i) hemos visto:
→ → →

ri  v i  a i
→

CINEMÁTICA 2ª LEY DE NEWTON MOMENTO LINEAL

ri
O

i

Fi = m i a i
→

→

→ →

pi = mi vi L i = ri x m i v i
→ → →

MOMENTO ANGULAR
→
→

L i = M i = ri x Fi
Si

• →

→

→

Mi = 0
Eci = 1 m i v i2 2

→

L i = cte

PPO. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

ENERGÍA CINÉTICA

2_________________________________________________________________Tema 4

Generalicemos para el caso de un sistema formado por N partículas. Lo que queremos hacer es ver qué expresión, equivalente a la 2ª ley de Newton, debemos aplicar: Para cada partícula (i) tendremos:
→ → → →

ri  v i  a i ri
En cuanto a las fuerzas, debemos considerar dos tipos:
→

• Fuerzas externas: Fi • Fuerzas internas debidas a las interaccionescon otras partículas

O

∑m
i =1

N

i

= m T = cte

 Consideremos estas fuerzas internas como fuerzas a pares: f ij
i 

Fi + ∑ f ij
j =1

→

N →

 f ii = 0

i
3

_________________________________________________________________Tema 4

Así, la 2ª ley de Newton se escribirá: 

→

i

Fi + ∑ f ij = m i a i
j =1

→

N →

→

Fi
i

Esto da lugar a Necuaciones vectoriales diferenciales (3N ecuaciones diferenciales de 2º orden). La resolución es compleja y se usan métodos estadísticos o numéricos y soluciones aproximadas.

Si en la expresión anterior tomamos momentos (respecto un cierto punto O):
→

i



ri x Fi + ∑ ( ri x f ij ) = ri x m i a i
j=1

→

N

→

→

→

→

→

Fi
→

(tenemos también N ecuaciones) O

rii

4

_________________________________________________________________Tema 4

Si sumamos para las N partículas:

∑ F + ∑∑ f = ∑ m a
i =1 N i i =1 j =1 → ij i =1 i → i N N → i i =1 i i =1 j=1

N →

N

N →

N

→ i

∑ (r x F ) + ∑∑ (r x f

→ ij

) = ∑ ( ri x m i a i )
i =1

N

→

→

 Estas N ecuaciones se simplifican debido al carácter de las f ij
i Enconcreto: ●
→ →

f ij = − f ji

∑∑ f
i =1 j =1

N

N → ij

=0

 f ij

 f ji
j
5

(ley de acción y reacción)

_________________________________________________________________Tema 4

 ● Además, las f ij
sumatoria:

son fuerzas dirigidas en la dirección i  j. Así, la

∑∑ r x f
incluye términos:
→ → → → →
i =1 j=1 i

N

N →

→ ij
→

→

ri
→ →
→

rj − ri→

ri x f ij + rj x f ji = ri x (f ij + f ji ) + (rj − ri ) x f ji = 0
f ij = − f ji
→ →

→

→

→

rj
O

f ji // rj − ri

→

→

→

Por tanto:

∑∑ r x f
i =1 j=1 i

N

N →

→ ij

=0
N → i N → i →

Así, nos queda:

∑F = ∑m a
i =1 N i i =1 i → i → i =1 i

N →

[1]

∑ (r x F ) = ∑ (r
i =1

x mi a i )

[2]

6_________________________________________________________________Tema 4

(1) Momento lineal de un sistema de partículas: principio de conservación
– Generalización del momento lineal – Principio de conservación del momento lineal

7

_________________________________________________________________Tema 4

Generalización del momento lineal
Generalicemos ahora los conceptos de cantidad de movimiento y momento angular para...