Julito Maraña

Congruencia de triángulos
 
Observa los siguientes triángulos:


 
Al mirar los dos pares de triángulos se puede apreciar que en ambos los triágulos tienen  entre si la misma forma y tamaño.
Cuando se cumplen estas dos condiciones se dice que los triángulos son congruentes; esta palabra (congruente) se simboliza o representa con el símbolo .
Definición:

Se dice que un Δ ABC escongruente con otro Δ DEF si sus lados respectivos son iguales y sus ángulos respectivos también lo son.
Para expresar en lenguaje matemático que los dos triángulos de la izquierda son congruentes, se usa la siguiente simbología:
 

         
Al observar los triángulos de la figura puede apreciarse que tienen lados respectivamente congruentes, que son:
 

También tienen ángulos respectivamentecongruentes:

 
Entonces es posible afirmar que .
Al revés: si dos o más triángulos son congruentes, sus lados y ángulos lo serán respectivamente, en el orden de las letras asignadas a sus vértices para nombrarlos, salvo que gráficamente se indique otra correspondencia.
Si, por ejemplo, tenemos Δ ABR  Δ CDS, sus lados respectivamente congruentes serán:

 
Y los ángulos respectivamentecongruentes serán:

Criterios de congruencia
Los criterios de congruencia corresponden a los postulados y teoremas que enuncian cuáles son las condiciones mínimas que deben reunir dos o más triángulos para que sean congruentes. 
Estas son:
1.- Congruencia de sus lados
2.- Congruencia de sus ángulos
Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos seaniguales.
Los postulados o criterios básicos de congruencia de triángulos son:
Postulado LAL
LAL significa lado-ángulo-lado.
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por ellos respectivamente iguales.



 
Postulado ALA
ALA significa ángulo-lado-ángulo.
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos, respectivamente, iguales. 
Postulado LLA
LLA significa lado-lado-ángulo
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.



 
Postulado LLL
LLL significa lado-lado-lado.
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.



Semejanza de triángulos
En el estudio de la semejanza entre figuras planas, el tópicode la semejanza de triángulos es muy importante para quienes postulen a la PSU.
De modo general, diremos que dos triángulos son semejantes cuando los ángulos de uno de ellos sean respectivamentecongruentes con los ángulos del otro y, además, tengan proporcionales sus lados homólogos (correspondientes).
Para avanzar en la comprensión del concepto de semejanza es preciso definir y entender quéson lados homólogos(correspondientes) y qué es proporcionalidad.
Tenemos la figura siguiente:

Veamos:
Los lados homólogos (correspondientes) son, respectivamente:
a y a' (de color rojo, lado pequeño y lado pequeño)
b y b' (de color verde, lado grande y lado grande)
c y c' (de color azul, lado mediano y lado mediano)
Si hacemos la división entre los lados homólogos (correspondientes) elresultado  es 2 (10 dividido5, 8 dividido 4 y 6 dividido 3); este valor recibe el nombre de razón y cuando la razón es igual en todos y cada uno de los lados homólogos (correspondientes), se dice que los lados son proporcionales.
Para comprobar si dos triángulos son semejantes existen  teoremas o criterios de semejanza, los cuales ayudan a determinar la semejanza o no de dos triángulos.
ImportanteCuando se dice que el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEF, se escribe:
Δ  ABC ~ Δ DEF
Es muy importante el orden en que se escriban los vértices de cada triángulo, ya que esto establece los lados y los ángulos homólogos.
En el ejemplo anterior, se tiene que:
El vértice A es homólogo con el vértice D
El vértice B es homólogo con el vértice E
El vértice C es homólogo con el...