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Páginas: 218 (54370 palabras)
Publicado: 18 de septiembre de 2013
Sonia SABOGAL
&
Gilberto ARENAS
Una introducción a la
geometría fractal
Sonia SABOGAL & Gilberto ARENAS
Escuela de Matemáticas
Universidad Industrial de Santander
Bucaramanga, 2011
Contenido
Introducción
v
1. Generalidades
1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1. La autosimilitud . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.2. La dimensión extraña . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2. Algunos datos históricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3. Cuatro ejemplos clásicos de conjuntos fractales . . . . . . . . . . . .
19
1.3.1. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.3.2. La carpeta deSierpiński . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.3.3. La curva de Koch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.3.4. La esponja de Menger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2. Nociones de espacios métricos
25
2.1. Definición y ejemplos . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.1.1. Subespacio métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.2. Noción de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Contenido
ii
2.3. Sucesiones de Cauchy, espacios métricos completos, punto adherente,
bolas, conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.4.Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.5. Conjuntos compactos, conjuntos acotados y totalmente acotados, puntos de acumulación y puntos frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.6. Continuidad en espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.7. Contracciones en espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
66
2.8. El teorema del punto fijo para espacios métricos completos . . . . . .
70
2.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3. El espacio (H(X) , h): el espacio donde viven los fractales
79
3.1. El conjunto H(X) y la métrica de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . .
79
3.2. Completez del espacio H(X) . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
87
3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
4. Sistemas iterados de funciones
99
4.1. Sistema Iterado de Funciones (SIF), atractor de un SIF . . . . . . . .
99
4.2. SIF con condensación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3. La función de direccionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 107
4.4. Sobre el triángulo de Sierpiński . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4.1. SIF triangulares y una caracterización de S . . . . . . . . . . 117
4.4.2. S es mucho más de lo que parece . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.4.3. Una caracterización de
∞
Ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
n=0
4.5. Transformaciones geométricas del atractor de un SIFen el plano . . 135
4.5.1. Transformación de similaridad, homotecia centrada en 0 . . . 135
Contenido
iii
4.5.2. Traslado del atractor de un SIF . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.5.3. SIF rígido y rotación del atractor de un SIF rígido . . . . . . 142
4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5. Breve visita a los sistemas dinámicosdiscretos
149
5.1. Dinámica de las funciones lineales en R . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2. La dinámica se complica: la Tienda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.3. Puntos periódicos y el teorema de Sharkovskii . . . . . . . . . . . . . 156
5.4. Transitividad topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.5. La definición de caos según R. L. Devaney ....
&
Gilberto ARENAS
Una introducción a la
geometría fractal
Sonia SABOGAL & Gilberto ARENAS
Escuela de Matemáticas
Universidad Industrial de Santander
Bucaramanga, 2011
Contenido
Introducción
v
1. Generalidades
1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1. La autosimilitud . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.2. La dimensión extraña . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2. Algunos datos históricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3. Cuatro ejemplos clásicos de conjuntos fractales . . . . . . . . . . . .
19
1.3.1. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.3.2. La carpeta deSierpiński . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.3.3. La curva de Koch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.3.4. La esponja de Menger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2. Nociones de espacios métricos
25
2.1. Definición y ejemplos . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.1.1. Subespacio métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.2. Noción de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Contenido
ii
2.3. Sucesiones de Cauchy, espacios métricos completos, punto adherente,
bolas, conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.4.Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.5. Conjuntos compactos, conjuntos acotados y totalmente acotados, puntos de acumulación y puntos frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.6. Continuidad en espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.7. Contracciones en espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
66
2.8. El teorema del punto fijo para espacios métricos completos . . . . . .
70
2.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3. El espacio (H(X) , h): el espacio donde viven los fractales
79
3.1. El conjunto H(X) y la métrica de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . .
79
3.2. Completez del espacio H(X) . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
87
3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
4. Sistemas iterados de funciones
99
4.1. Sistema Iterado de Funciones (SIF), atractor de un SIF . . . . . . . .
99
4.2. SIF con condensación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3. La función de direccionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 107
4.4. Sobre el triángulo de Sierpiński . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4.1. SIF triangulares y una caracterización de S . . . . . . . . . . 117
4.4.2. S es mucho más de lo que parece . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.4.3. Una caracterización de
∞
Ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
n=0
4.5. Transformaciones geométricas del atractor de un SIFen el plano . . 135
4.5.1. Transformación de similaridad, homotecia centrada en 0 . . . 135
Contenido
iii
4.5.2. Traslado del atractor de un SIF . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.5.3. SIF rígido y rotación del atractor de un SIF rígido . . . . . . 142
4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5. Breve visita a los sistemas dinámicosdiscretos
149
5.1. Dinámica de las funciones lineales en R . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2. La dinámica se complica: la Tienda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.3. Puntos periódicos y el teorema de Sharkovskii . . . . . . . . . . . . . 156
5.4. Transitividad topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.5. La definición de caos según R. L. Devaney ....
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