Jun 14

E.T.S. Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

CONVOC. JUNIO

Universidad de Granada

TEORÍA DE ESTRUCTURAS

4 JULIO 2014

TEORÍA

Tiempo: 1 h.

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La Teoría representa 1/3 de la nota total del examen.

▷ Ejercicio 1 (2,5 ptos)
Establecer la relación que existe entre los seis esfuerzos a partir de los tres tipos de tensiones que
aparecen en una sección. Realizaresquemas del planteamiento.
▷ Ejercicio 2 (2,5 ptos)
Deducir la expresión del módulo de torsión J para un perfil cualquiera de pared delgada abierto, a
partir del cálculo de la función de tensiones o de Prandtl () para un fleje de altura b y espesor e.
Imprescindible realizar croquis explicativos.
▷ Ejercicio 3 (2,5 ptos)
Dadas las estructuras de las figuras descomponerlas aplicando simetría ysimplificarlas.

▷ Ejercicio 4 (2,5 ptos)

Teorema de Reciprocidad de Maxwell-Betti. Considerar para la demostración los esfuerzos
axil, flector y cortante. Indicar hipótesis previas y realizar los croquis necesarios.
Empiece a responder en esta misma hoja

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TEORÍA. Convocatoria Junio 2014.
Ejercicio nº 3

TEORÍA DEESTRUCTURAS

Convocatoria Junio 2014
TEORIA. Pág. 1 de 1

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CONVOC. JUNIO

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TEORÍA DE ESTRUCTURAS

4 JULIO 2014

EJERCICIO 2

Tiempo: 60 min.

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Esta parte puntúa con 1/3 de la nota.
a) Hallar la ecuación de la línea de influencia de la reacción del momento en A, cuando la fuerza
F se desplaza a lolargo de la viga AB en función de la distancia x al extremo A.
b) Posteriormente utilizar la expresión obtenida para calcular la reacción del momento en A
cuando existe una carga distribuída entre el punto medio de la viga y B de valor 1 t/m.
c) Finalmente calcular la reacción del momento en A por algún otro método para verificar que
esta es correcta.

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a)
En primer lugar construimos los estados real equivalente y auxiliar:

Aplicamos Reciprocidad:
−𝐹 · 𝛿𝑣∗ + 𝑀𝐴 · 𝜃𝐴∗ = 𝑀𝐴∗ · 𝜃𝐴 = 0

(puesto que θA es igual a 0)

Seguimos desarrollando y obtenemos la expresión de la línea de influencia:
𝛿𝑣∗
𝜃𝐴∗

𝑀𝐴 = 𝐹 ·
Calculamos 𝛿𝑣∗ por la ecuación de la elástica:
𝑀∗ (𝑥) = −𝑀𝐴∗ +
𝜃

∗ (𝑥)

=∫

𝑀∗ (𝑥)
𝐸𝐼

𝑥
𝑥
· 𝑀𝐴∗ = 𝑀𝐴∗ · ( − 1)
𝐿𝐿

· 𝑑𝑥 =

𝛿𝑣∗ (𝑥) = ∫ 𝜃∗ (𝑥) · 𝑑𝑥 =

𝑀𝐴∗
𝐸𝐼

𝑀∗𝐴
𝐸𝐼

· [(

𝑥2
− 𝑥) + 𝐶1 ]
2𝐿

𝑥3 𝑥2
− ) + 𝐶1 · 𝑥 + 𝐶2 ]
6𝐿 2

· [(

Impongo que las condiciones de contorno: el desplazamiento vertical en los extremos es 0:

𝛿𝑣∗ (0) = 0 ⇒ 𝐶2 = 0
𝛿𝑣∗ (𝐿) = 0 ⇒

𝑀𝐴∗
𝐸𝐼

· [(

𝐿3 𝐿2
𝐿
− ) + 𝐶1 · 𝐿] = 0 ⇒ 𝐶1 =
6𝐿 2
3

Y por tanto:
𝛿𝑣∗ (𝑥) =

𝑀𝐴∗
𝐸𝐼

𝑥3 𝑥2
𝐿
− ) + · 𝑥]
6𝐿 2
3

· [(

El giro por la izquierda del estadoauxiliar es el de una viga biapoyada con un momento en el extremo donde se
mide el giro, es decir:

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𝜃𝐴∗ =

𝑀𝐴∗ · 𝐿
3 · 𝐸𝐼

Con todo esto, la línea de influencia quedará:
𝛿𝑣∗
𝑀𝐴 = 𝐹 · ∗ = 𝐹 ·
𝜃𝐴

∗
𝑀𝐴

𝐸𝐼

· [(

𝑥3
6𝐿

−

𝑥2

2
∗ ·𝐿
𝑀𝐴

𝐿

) + · 𝑥]
3

=𝐹·(

3·𝐸𝐼

𝑥 3 3𝑥 2
−
+ 𝑥)
50 10

b)
5
𝑥 3 3𝑥 2
𝑀𝐴 = ∫ 𝐹 · ( −
+ 𝑥) · 𝑑𝑥 = 1· (3.125 − 1.7578) = 1.3672
50 10
2.5

c)
Un método alternativo podría ser aplicar compatibilidad en el extremo A liberando el giro a cambio de
imponer que este sea 0 y posteriormente aplicar superposición y resolver por la elástica (ojo, como
tenemos una ley de momentos a trozos, pues cambia en el punto medio, la integramos por separado
para cada parte):

El giro en el extremo izquierdo para elprimer sub-estado, tal y como ya se vio será:

𝜃𝐴𝐼 =

𝑀𝐴 · 𝐿
3 · 𝐸𝐼

Para el segundo sub-estado aplicaré la elástica, para lo cual necesito las leyes de momentos, calculo
pues primero las reacciones:
𝑅𝐴𝐼𝐼 =

𝐿

𝑅𝐵𝐼𝐼 =

8

3·𝐿
8

Con ellas calculo las leyes de momentos y las divido entre EI y las integro dos veces, aplicando como
condiciones de compatibilidad que en los apoyos el desplazamiento...