Junio

Capítulo 2

CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TEORÍA DE CONJUNTOS

2.1 DEFINICIONES:

2.1.1 Conjunto: Término básico no definido.
Concepto intuitivo: Lista, colección o clase de objetos, bien definidos.
Notación: por letras mayúsculas. Sus elementos por letras minúsculas.
Se puede definir :

Por extensión (o forma tabular): se enumera cada uno de los elementos del conjunto.
Ejemplo: A ={-2,1,3,4}

Por comprensión (o forma constructiva): cuando se enuncia una propiedad que
deben tener sus elementos.
Ejemplo: B = {x/x es número racional}
C = {x/x = 2n-1 + 1, n(N}

2. Relación de pertenencia: Para indicar que un elemento pertenece o no a un
conjunto se utiliza los signos [pic] y [pic]respectivamente.

2.1.3 Conjuntos numerables y no numerables: Unconjunto es numerable si consta de un cierto número de elementos distintos donde el proceso de contar puede acabar, si no acaban el conjunto es no numerable.

4. Conjunto vacío: Carece de elementos. Se denota por el símbolo ( ó { } y se
representa por ([pic] [pic]

5. Conjunto unitario: Es el que tiene un solo elemento.

6. Conjunto universal: Es un conjunto que contiene todos losconjuntos que
se están tratando, (también se le conoce como Referencial).
Símbolo: U y se representa por U = {x/x( A ( x (A; siendo A cualquier conjunto}

7. Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los
mismos elementos. Es decir, A es igual a B si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A.Se denota la igualdad de los conjuntos A y B por A = B.

8. Subconjunto: sean A y B dos conjuntos. Se dice que A es un subconjunto de
B, (A [pic] B), si y solo si todo elemento de A es también elemento de B.
[pic]: símbolo de subconjunto o contenencia, inclusión.
Simbólicamente: [pic]
[pic] se lee A es un subconjunto de B o
[pic] B es un superconjunto de A[pic] se lee A no es un subconjunto de B o
B no es un superconjunto de A

Propiedades de la inclusión:
i) El conjunto vacío, (, se considera subconjunto de
todo conjunto.
ii)Si A no es subconjunto de B, es decir, [pic];
entonces hay por lo menos un elemento de A que no
es elemento de B.
iii)Todo conjunto essubconjunto de si mismo, es
decir, si A es cualquier conjunto entonces [pic]
[pic]Demostrar las propiedades anteriores.
[pic]Teorema: si [pic] y [pic] implica que [pic]
(Demostrarlo).

Notas: 1) Con la definición de subconjunto se puede dar
de otra forma la definición de la igualdad de
conjuntos; así:
Dos conjuntos A y B soniguales, A = B, si y
sólo si [pic] y [pic].
Simbólicamente: [pic]
2) La igualdad de conjuntos es una relación de
equivalencia. (¿Por qué?)

9. Subconjunto propio: Ya que todo conjunto A es subconjunto de si mismo,
se dice que B es un subconjunto propio de A, si:
i) B es un subconjunto de A, y
ii) B no es igual a A
Es decir, B essubconjunto propio de A si:
[pic] y [pic]
En algunos textos “B es subconjunto de A” se denota por [pic], y “B es subconjunto propio de A”, se denota por [pic]

2.1.10 Comparabilidad: Dos conjuntos A y B son comparables si [pic] o [pic], es
decir, si uno de los conjuntos es subconjunto del otro.

Simbólicamente:
A y B son comparables [pic]
Dos conjuntos A y B se dicen no comparables si[pic]

2.1.11 Familia de conjuntos: Es el conjunto formado por elementos que son conjuntos.
Para designar familias o clases de conjuntos se emplean letras inglesas:
A, B, C, D, E, ....
Ya que las mayúsculas denotan sus elementos.

2.1.12 Conjunto potencia: Se define el conjunto potencia o conjunto de partes de un
conjunto dado A como el conjunto de todos los subconjuntos de A. Se representa...