Juridica

Páginas: 140 (34862 palabras) Publicado: 15 de marzo de 2014
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INTRODUCCION A LA TEOR´ DE GRUPOS
IA

Fernando Barrera Mora

Noviembre de 2003

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Indice general
0.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
o
1. Definiciones y resultados generales
1.1. Algunas propiedades de los enteros .
1.1.1. Aritm´tica en Z . . . . . . . .
e
1.1.2. El Algoritmo Euclidiano . . .
1.1.3. Los Enteros M´dulo n . . . .
o1.1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . .
1.2. Generalidades sobre grupos . . . . .
1.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . .
´
1.3. Indice y el Teorema de Lagrange . . .
1.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . .
1.4. Subgrupos normales y grupo cociente
1.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . .
1.5. Grupos c´
ıclicos . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . .
1.6. Los teoremasde isomorfismo . . . . .
1.6.1. Ejercicios . . . . . . . . . . .
1.7. Producto directo de grupos . . . . . .
1.7.1. Ejercicios . . . . . . . . . . .

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2. Grupos de permutaciones y acciones de grupo
2.1. El grupo de permutaciones y el teorema de Cayley
2.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Acci´n de un grupo en un conjunto . . . . . . . .
o
2.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. p-grupos y los teoremas de Sylow . . . . . . . . .
2.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Grupos de orden pq . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INDICE GENERAL

II

3. Grupos abelianos finitos y automorfismos de grupos
3.1. Grupos abelianos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Clasificaci´n de grupos de orden ≤ 15 . . . . . . . . . .
o
3.2.1. Grupos no abelianos de orden 8 . . . . . . . . .
3.2.2. Grupos no abelianos de orden 12 . . . . . . . .
3.3.Automorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. Grupos solubles y nilpotentes
4.1. Subgrupos caracter´
ısticos . .
4.2. Grupos nilpotentes . . . . .
4.3. Grupos solubles . . . . . . .
4.3.1.Ejercicios . . . . . .

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0.1. Introducci´n
o

0.1.

Introducci´n
o

La teor´ de grupos tiene su origen en eltrabajo de E. Galois [2] sobre soluıa
bilidad por radicales de la ecuaci´n an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0. Sin
o
embargo, algunos de los resultados de la teor´ de grupos hab´ aparecido
ıa
ıan
con anterioridad en trabajos de otros matem´ticos, entre los que se encuena
tra Cauchy [24]. Por lo anterior, es pertinente se˜alar que el t´rmino grupo
n
e
es acu˜ado y usado...
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