Juventud en extasis
Páginas: 58 (14259 palabras)
Publicado: 22 de septiembre de 2010
I. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA
1.1 Introducción
El álgebra se desarrolló a partir de las reglas y operaciones de la aritmética. El estudio de la aritmética comienza con la suma, multiplicación, resta y división de números, tales como
2 + 8, (11) (45), 38 – 14 y
En álgebra, se introducen símbolos o letras como a, b, c, d, x, y, z,etc., para denotar números arbitrarios y frecuentemente se consideran expresiones generales, en lugar de casos especiales, como
x + y, (c) (d), a – b y
Este lenguaje del algebra es útil por dos razones. Primero, puede ser utilizado para abreviar y simplificar expresiones largas o complicadas y segundo, es una manera adecuada de generalizar muchas expresiones específicas.Para ilustrar esto, se ha aprendido que
6 + 8 = 8 + 6, 3 + 7 = 7 + 3
y así sucesivamente. Esta descripción puede ser reducida y comprendida fácilmente por medio de la expresión algebraica
a + b = b + a
donde a y b denotan números arbitrarios.
1.2 Números reales
Los números reales se utilizan en todas las fases de las matemáticas y es importante familiarizarse conlos símbolos que los representan, por ejemplo:
2, 78, - 9, , , 0 .025
El conjunto de los números reales se dice que es cerrado respecto a las operaciones de suma y multiplicación. Esto significa que a cada par de números reales a, b le corresponde un número real a + b llamado la suma de a y b y un úniconúmero real (a)(b) llamado producto de a y b. Estas expresiones tienen las siguientes propiedades en donde todas las letras minúsculas denotan números reales arbitrarios y donde 0 y 1 son números reales especiales.
Propiedades conmutativas: a + b = b + a, ab = ba
Propiedades asociativas: a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) = (ab)c
Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a, a x 1 = 1x a = a
Inversos:
1. Para cada número real a, existe un número real denotado por – a, tal que
a + (-a) = (-a) + a = 0
2. Para cada número real a ≠ 0, existe un número real denotado por ,
tal que =1
Propiedades distributivas: a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc
Definición de a-1:
Observación:
1) Si a = b, entoncesa + c = b + c 2) Si a = b, entonces ac = bc
Observación:
1) Si a * b = 0, entonces a = 0 ó b = 0 2) a * 0 = 0 para todo número real
Ejemplo 1. Verifique los siguientes casos de las propiedades asociativas y distributivas
a) 3 + (4 + 5) = (3 + 4) + 5 b) 3 * (4 * 5) = (3 * 4) * 5
c) 3 * (4 + 5) ) 3 * 4 + 3 * 5 d) (3 + 4) * 5 = 3 * 5 + 4 * 5
Propiedades de losnegativos: – ( – a) = a
(– a)b = – (ab) = a(– b)
(– a) (– b) = ab
(– 1)a = – a
Definición de la resta: a – b = a + (– b)
Definición de la división: Si b ≠ 0, entonces la división (denotada por [pic]) se define como
Propiedades de loscocientes:
Ejemplo 2. Encuentra a) , b) , c)
a) b)
c)
Los elementos positivos 1, 2, 3, 4,…, pueden obtenerse sumando el número real 1 a si mismo respectivamente. Los negativos -1, -2, -3, -4,…, de los enteros positivos son llamados enteros negativos. La totalidad de los enteros positivosy negativos, junto con el número real 0, constituyen el conjunto de los enteros.
Un número racional es un número real que se puede escribir de la forma , donde a
y b son enteros y b ≠ 0. A los números reales que no son racionales se les llama irracionales.
En resumen, los números reales (R) se clasifican en racionales (Q) e irracionales (I). Los...
1.1 Introducción
El álgebra se desarrolló a partir de las reglas y operaciones de la aritmética. El estudio de la aritmética comienza con la suma, multiplicación, resta y división de números, tales como
2 + 8, (11) (45), 38 – 14 y
En álgebra, se introducen símbolos o letras como a, b, c, d, x, y, z,etc., para denotar números arbitrarios y frecuentemente se consideran expresiones generales, en lugar de casos especiales, como
x + y, (c) (d), a – b y
Este lenguaje del algebra es útil por dos razones. Primero, puede ser utilizado para abreviar y simplificar expresiones largas o complicadas y segundo, es una manera adecuada de generalizar muchas expresiones específicas.Para ilustrar esto, se ha aprendido que
6 + 8 = 8 + 6, 3 + 7 = 7 + 3
y así sucesivamente. Esta descripción puede ser reducida y comprendida fácilmente por medio de la expresión algebraica
a + b = b + a
donde a y b denotan números arbitrarios.
1.2 Números reales
Los números reales se utilizan en todas las fases de las matemáticas y es importante familiarizarse conlos símbolos que los representan, por ejemplo:
2, 78, - 9, , , 0 .025
El conjunto de los números reales se dice que es cerrado respecto a las operaciones de suma y multiplicación. Esto significa que a cada par de números reales a, b le corresponde un número real a + b llamado la suma de a y b y un úniconúmero real (a)(b) llamado producto de a y b. Estas expresiones tienen las siguientes propiedades en donde todas las letras minúsculas denotan números reales arbitrarios y donde 0 y 1 son números reales especiales.
Propiedades conmutativas: a + b = b + a, ab = ba
Propiedades asociativas: a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) = (ab)c
Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a, a x 1 = 1x a = a
Inversos:
1. Para cada número real a, existe un número real denotado por – a, tal que
a + (-a) = (-a) + a = 0
2. Para cada número real a ≠ 0, existe un número real denotado por ,
tal que =1
Propiedades distributivas: a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc
Definición de a-1:
Observación:
1) Si a = b, entoncesa + c = b + c 2) Si a = b, entonces ac = bc
Observación:
1) Si a * b = 0, entonces a = 0 ó b = 0 2) a * 0 = 0 para todo número real
Ejemplo 1. Verifique los siguientes casos de las propiedades asociativas y distributivas
a) 3 + (4 + 5) = (3 + 4) + 5 b) 3 * (4 * 5) = (3 * 4) * 5
c) 3 * (4 + 5) ) 3 * 4 + 3 * 5 d) (3 + 4) * 5 = 3 * 5 + 4 * 5
Propiedades de losnegativos: – ( – a) = a
(– a)b = – (ab) = a(– b)
(– a) (– b) = ab
(– 1)a = – a
Definición de la resta: a – b = a + (– b)
Definición de la división: Si b ≠ 0, entonces la división (denotada por [pic]) se define como
Propiedades de loscocientes:
Ejemplo 2. Encuentra a) , b) , c)
a) b)
c)
Los elementos positivos 1, 2, 3, 4,…, pueden obtenerse sumando el número real 1 a si mismo respectivamente. Los negativos -1, -2, -3, -4,…, de los enteros positivos son llamados enteros negativos. La totalidad de los enteros positivosy negativos, junto con el número real 0, constituyen el conjunto de los enteros.
Un número racional es un número real que se puede escribir de la forma , donde a
y b son enteros y b ≠ 0. A los números reales que no son racionales se les llama irracionales.
En resumen, los números reales (R) se clasifican en racionales (Q) e irracionales (I). Los...
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