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DERIVADA USANDO LÍMITES
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.PASOS PARA DERIVAR POR LÍMITES

Para empezar, comenzaremos con un ejercicio sencillo:

                       1. f(x)= x^2 + 4x − 5


1. Lo primero que hayque hacer es tener en cuenta la siguiente ecuación:
              
                  f'(x)= lim     f(x+h)-f(x)
                          h-0           h


2. Seguido de esto hay que reemplazarla ecuación: la x se reemplaza por (x+h) y -f(x) se reemplaza por toda la función. Así


                 f'(x)= lim   (x+h)^2 -x^2  +  4(x+h) - 4x
                          h-0           h                    h


El 5 no se coloca por que la derivada de cualquier número es siempre igual a 0.


3. Ahora, se operan la funciones; las funciones que están elevadas a cualquier número necesitanser operadas por medio del triangulo de pascal; en este caso como (x+h) esta elevada a la 2 quedaría:


(x^2+2xh+h^2) porque:                 





                                       1er término al cuadrado + 2 veces el 1er término por el 2do + el último término al cuadrado.


                 f'(x)= lim  x^2+2xh+h^2-x^2   +  4x+4h - 4x
                          h-0            h                         h


4. Eliminamos términos semejantes.



                 f'(x)= lim 2xh+h^2  +  4h
                          h-0       h           h


5. Una veztengamos los términos finales es hora de hallar el factor común, el cual es la h (siempre es la h) para poder así cancelarla con la h del denominador.


                f'(x)= lim h(2x+h^2)  + h(4)
                        h-0        h           h



5. Una vez se hayan eliminado las aches, ahora si podemos despejar el limite. 



                f'(x)=2x+0^2  + 4
                       ...