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Formulas de Cardinalidad

Introducción con ejemplos
Sean A1, A2, A3 ... An conjuntos. Conociendo el cardinal de cada conjunto, así como el cardinal de cada intersección de dos, tres ... nconjuntos, se quiere hallar una fórmula para calcular el cardinal de la unión.

En ciertos lugares del planeta, esta fórmula se conoce bajo el nombre de fórmula de la criba o principio de la criba. Sinembargo la apelación más conocida es principio de inclusión-exclusión. La vamos a descubrir generalizando a partir de la unión de dos y luego de tres conjuntos.
Sean A y B dos conjuntos, deintersección A ∩ B (en verde en la figura). Para contar todos los elementos de la unión A ∪ B, primero contamos los de A (en amarillo y verde en la figura), luego los de B (en azul y verde) y sumamos los dosnúmeros. Pero ... los elementos de la intersección han sido contados dos veces. Entonces tenemos que restar a la suma el cardinal de la intersección, #(A ∩ B).
La fórmula es por lo tanto:

Sepuede remplazar el cardinal por otra medida de conjuntos, por ejemplo por una probabilidad, si A y B son eventos probabilísticos:

Consideremos ahora un tercer conjunto C, que interseca los dosprimeros.
Sumamos primero todo lo que hay en A, B y C separadamente.
Al hacerlo, contamos dos veces los elementos de A ∩ B, B ∩ C y C ∩ A.
Luego debemos restar estos tres conjuntos.
Pero loselementos de A ∩ B ∩ C han sido contados tres veces y restados otras tantas, por lo que tenemos que contabilizarlos de nuevo.
La fórmula es por tanto:

Unión e intersección
Unión
La unión esuna operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales.
El conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos  P y elconjunto de los número impares positivos
P = {2, 4, 6, ...}
I = {1, 3, 5, ...}
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo, N = P ∪ I....