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ALGEBRA (MATEMÁTICA DISCRETA)
ESCUELA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA
ULPGC
Profesor: José-Miguel Pacheco Castelao
Curso 2010-2011
Parte 2: Teoría de Números

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Números

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Los conjuntos numéricos de la Aritmética
La Aritmética es la parte de las Matemáticas que se ocupa de las propiedades y operaciones
con números, en especial los Naturales y los Enteros:

={0,1, 2,3, 4,...}
Z = {..., −4, −3, −2, −1, 0,1, 2,3, 4,...}
Las operaciones aritméticas elementales posibles con los Naturales y los Enteros se recogen
en la tabla siguiente. Cuando decimos que una operación no es posible indicamos que en
algún caso el resultado de la misma se halla fuera del conjunto en que trabajemos. La
propiedad distributiva es la igualdad, que relaciona el producto con lasuma, a(b+c) = ab+ac.
Suma
conmutativa

Producto
conmutativo

División

Distributiva

Sí

Z

Resta

No

Sí

No

Sí

Sí

Sí

Sí

No

Sí

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La ordenación de los Naturales y los Enteros
Los números naturales poseen una ordenación intuitiva, de menor a mayor en el sentido
ordinario de la frase. Dicha ordenación se prolongaa los números enteros de forma
completamente natural:

= {0 < 2 < 3 < 4 < ...}
Z = {... < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 2 < 3 < 4 < ...}
Ambos órdenes son totales (dados dos números cualesquiera, siempre es posible decidir cuál
es el mayor de ellos). Además, el orden de los números Naturales es bueno (cualquier familia
de números naturales tiene un primer elemento). Sin embargo, el orden de losEnteros NO es
bueno: p. ej., el conjunto de los números menores que -3 no tiene primer elemento, aunque sí
tiene último.
El tipo de orden de los Naturales se llama
como −ω + ω

ω (omega pequeño), y el de los Enteros se escribe

Nótese que la suma de tipos ordinales no sigue las leyes habituales de la Aritmética. Los tipos
ordinales son casos particulares de números transfinitos.

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La “regla de los signos”
La conocida regla de los signos puede obtenerse a partir de las operaciones realizables con
los números enteros. En general, cualquier conjunto con dos operaciones asimilables a las de
los números enteros se llama “anillo”, y esta regla es cierta en todo anillo.

Dado un elemento a ∈ , el elemento − a se llamará "opuesto de a", yes aquel elemento
que sumado con a da 0. La habitual expresión a − b es simplemente una abreviatura
de a + (−b) [esto es, restar es "sumar el opuesto"].
Probemos primero que a × 0 = 0, cualquiera que sea a.
En efecto. Como 0+0=0, podemos poner a × (0 + 0) = a × 0. Usando la propiedad
distributiva tendremos que a × (0 + 0) = a × 0 + a × 0 será igual á a × 0, luego es
obligado que a × 0 = 0.Regla de los signos: a × (−b) = −(a × b)
Demostración: Escribimos 0 = a × 0 = a × (b + (−b)), cualquiera que sea b.
Por tanto, a × b + a × (−b) = 0, luego a × (−b) es el opuesto de a × b. En otras palabras,
a × (−b) = −(a × b).
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Múltiplos y divisores
Si n ∈ , el conjunto de todos los números de la forma n × m, donde m ∈ Z, se llama
"conjunto de losmúltiplos de n". Se suele escribir n, ó n . Cuando p ∈ nZ, diremos
que n es divisor de p.
El conjunto de los múltiplos de n es siempre infinito (excepto si n = 0), pero el de los
divisores de n siempre es finito.
Un número entero que no tenga divisores, a excepción del 1 y de él mismo, es un
número primo. Los primeros primos son 2, 3, 5, 7,... y los primeros
no primos -que se dicen"compuestos"-, son 4 , 6, 8, 9,.... Notemos que el único primo
par es el 2.
Hay dos resultados fundamentales acerca de los números primos:
a) "El conjunto de los números primos es infinito"
b) "Todo número entero se puede escribir como producto de un número finito de
números primos"
El resultado b) se conoce como "Teorema Fundamental de la Aritmética"
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La...