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TEMA 5.2. MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA.

CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Y CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR.

Considere una partícula de masa m que se mueve en un círculo de radio r, como se ve en la figura siguiente:

[pic]
Si su velocidad lineal es v, tendrá una cantidad de movimiento lineal p = mv. Con respecto al eje de rotación fijado, definimos la cantidad demovimiento angular L de la partícula como el producto de su cantidad de movimiento lineal por la distancia perpendicular que va del eje a la partícula que gira.

L (partícula) = mvr.

Ahora consideremos la definición de la cantidad de movimiento angular cuando esta se aplica a un cuerpo rígido extenso. La figura anterior, describe este tipo de cuerpo, el cual gira alrededor de su eje O. Cadapartícula del cuerpo describe una cantidad de movimiento angular dado por la ecuación anterior. Sustituyendo v = ω r, cada partícula tiene una cantidad de movimiento angular dada por:

[pic]

Puesto que el cuerpo es rígido, todas las partículas que lo forman tienen la misma velocidad angular ω, y la cantidad de movimiento angular del cuerpo es:

L = (Σ mr2) ω.
Y dado que (Σ mr2) es igual almomento de inercia I, por lo tanto, la cantidad de movimiento angular total es igual al producto de la velocidad angular por su momento de inercia:

L = I ω.

Donde L = cantidad de movimiento angular en kg.m2/s.
I = momento de inercia en kg.m2.
ω= velocidad angular en rad/s.
PROBLEMAS DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR

1. Una barra uniforme delgada de 1 metro de largo tiene una masa de 6kg. Si la barra se apoya sobre su centro y gira con una velocidad angular de 16 rad/s, calcule su velocidad de movimiento angular.

Solución: el momento de inercia para una barra delgada es:

[pic]

Entonces, su cantidad de movimiento angular es:

L = I ω= (0.5 kg.m2) (16 rad/s) = 8 kg.m2/s.

2. Una varilla de acero de 500 gramos y 30 cm de longitud oscila sobre su centro y gira a 300rev/min. ¿Cuál es su momento angula?


[pic]



Obtención de la velocidad angular a partir de la frecuencia:


[pic]


[pic]


L = I ω = (9.375 x 10-4 kg.m2.)(31.4 rad/s) = 0.0294 kg.m2/s.


CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR.


Podemos entender mejor la definición de cantidad de movimiento angular si recordamos la ecuación fundamental delmovimiento angular, o segunda ley de Newton del movimiento rotacional; τ = I α. Es decir el momento de torsión es igual al momento de inercia por la aceleración angular:


[pic]
Podemos escribir la segunda ley de Newton del movimiento rotacional como:


[pic]
Multiplicando por el tiempo t, ambos lados de la ecuación, obtenemos:


[pic] Impulso angular = cambio en lacantidad de movimiento angular.


El producto τ t se define como el impulso angular. Si no se aplica ningún momento de torsión al cuerpo que gira, podemos establecer que τ = 0, por lo tanto la ecuación anterior queda de la siguiente forma:


0 = Iωf-Iωo.


I ωf = Iωo.


Cantidad de movimiento angular final = cantidad de movimiento angular inicial.


Por lo tanto, yapodemos expresar un enunciado para la conservación de la cantidad de movimiento angular:


Si la suma de los momentos de torsión externos que actúan sobre un cuerpo o sistema de cuerpos es igual a cero, la cantidad de movimiento angular permanece inalterado.


Este enunciado resulta verdadero aun en el caso de que el cuerpo no sea rígido, sino que pueda cambiar su forma de tal modo quesu momento de inercia cambie. En este caso, la velocidad angular también cambia de tal modo que el producto I ω, siempre es constante. Los patinadores, clavadistas y acróbatas controlan la rapidez con que giran sus cuerpos extiendo o encogiendo sus extremidades para aumentar o disminuir su velocidad angular. Un interesante experimento ejemplifica la conservación de la cantidad de movimiento...