karlos rojas

Análisis de estado senoidal
permanente
Circuitos Eléctricos 2

Función de tensión senoidal
v(t) = Vm sen t
Vm – amplitud de la onda
t – argumento

La función se repite cada 2 radianes y por lo tanto el
periodo (T) de la senoidal es de 2 radianes.
La frecuencia es f = 1/T, así que
T = 2
 = 2f

Grafica de la función seno
Función senoidal en función de t.

Código enMatlab
>> fplot('sin',[-pi/2 2*pi+0.1 -1.5 1.5])

Función senoidal en función de t.

Retraso y adelanto
Forma general de la senoide

v(t) = Vm sen (t +)

 – ángulo de fase.
Código en Matlab
%archivo v.m
function y = v(t,Vm,w,theta)
y = Vm*sin(w*t+theta);
>> fplot('v',[-pi/2 2*pi+0.1 -1
1],[],[],'-r',0.5,1,0)
>> fplot('v',[-pi/2 2*pi+0.1 -1
1],[],[],'-b',0.5,1,pi/4)

Se diceque v(t) = Vm sen (t +) adelanta a v(t) = Vm sen (t)
en  radianes. Las señales se encuentran fuera de fase.

Conversión de senos a cosenos
Se cumple que
Vm sen t = Vm cos(t – )
En general
– sen t = sen(t )
– cos t = cos(t  18)
 sen

t = cos(t )

 cos t = sen(t )

Ejemplo
Determinar el ángulo mediante el cual i1 está retrasada
respecto a v1,si v1 = 120 cos(120t – 40°) e i1 es igual a 1.4
sen(120t – 70°)
1.4 sen(120t – 70°) = 1.4 cos(120t – 70° – 90°)
= 1.4 cos(120t – 160°)
la diferencia de fases es
120t – 40° – 120t + 160° = 120°
por tanto el retraso es de 120°.

Tarea 5
Determinar el ángulo mediante el cual i1 está retrasada
respecto a v1, si v1 = 120 cos(120t – 40°) e i1 es igual a:
a) 2.5 cos(120t + 20°)
b)–0.8 cos(120t – 110°)

En general
– sen t = sen(t    )
– cos t = cos(t  18)
 sen

t = cos(t )

 cos t = sen(t )

Respuesta forzada a funciones
senoidales
Se utilizan los términos respuesta forzada o respuesta a estado
permanente.
Considere el circuito serie RL con una fuente senoidal v(t) =
Vm cos t.

+ V –
R
+
VL
–

Aplicando LKV
VL + VR =v(t)

Respuesta forzada a funciones
senoidales
Se debe cumplir con la ecuación diferencial
di
L  Ri Vm cos t
dt

La corriente debe ser senoidal, en general puede ser de la forma:
i(t) = I1cos t + I2 sen t
Sustituyendo se obtiene
L(– I1sen t + I2cos t) +R(I1cos t + I2sen t) = Vmcos t

Respuesta forzada a funciones
senoidales
Agrupando términos con seno y con coseno, seobtiene
(–LI1  + RI2)sen t + (LI2 + R I1 –Vm)cos t = 0
esto debe cumplirse para todo t, por lo tanto los coeficientes
del seno y del coseno deben ser cero. Es decir:
–LI1  + RI2 = 0
despejando I1 e I2 se obtiene

y

LI2 + R I1 –Vm = 0
RVm
I1  2
,
2 2
R  L

La respuesta forzada se escribe como:
i (t ) 

RVm
LV m
cos

t

sent
2
2 2
2
2 2
R  L
R  LLV m
I2  2
R  2 L2

Respuesta forzada a funciones
senoidales
Suponiendo una respuesta de la forma
i(t) = A cos (t –)
Procedemos a determinar A y , desarrollando el coseno
de la resta de ángulos
A cos  cos t  A sen  sen t 

de aquí encontramos que
RVm
A cos   2
R  2 L2

dividiendo

y

RVm
LV m
cos

t

sent
2
2 2
2
2 2
R  L
R  L

LV m
Asen   2
R  2 L2

A sen 
L
 tan  
A cos 
R

Respuesta forzada a funciones
senoidales
elevando al cuadrado las anteriores y sumando
2

2

2

2

A cos   A sen   A 

En consecuencia

i (t ) 

R 2Vm2

2

R

2

2

 L

L
 tan
R
1

Vm



 R

2 2

2 L2Vm2
2

 2 L2



2

A


 1 L 
cos

t

tan


R 
R 2  2 L2

Vm2
 2
R  2 L2

Vm
R 2  2 L2

Ejemplo
Ejemplo 1 R = 20  y L = 30mH, v(t) = 8 cos 103t.
R = 20;
L = 30e-3;
omega = 1000;
clf;hold off;
tiempo = linspace(0,8.1*1e-3,1000);
v = 8*cos(1e3*tiempo);
a = 8/sqrt(R^2+omega^2*L^2);
fase = atan(omega*L/R);
i = a*cos(1e3*tiempo - fase);
plot(tiempo,v,'-b',tiempo,i,':b');
xlabel('tiempo (sec.)');
ylabel('v...