KEPLER




MODELOS MATEMATICOS















YECID BUSTOS CASTAÑEDA
















UNIVERSIDAD DISTRITAL “FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS”
FACULTAD DEL MEDIO AMBIENTE Y RECURSOS NATURALES
PROYECTO CURRICULAR INGENIERIA TOPOGRAFÍCA
BOGOTÁ 2002



MODELOS MATEMATICOS







YECID BUSTOS CASTAÑEDA 20012033003





Profesora:
DIOCELINAUNIVERSIDAD DISTRITAL “FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS”
FACULTAD DEL MEDIO AMBIENTE Y RECURSOS NATURALES
PROYECTO CURRICULAR TECNOLOGÍA EN TOPOGRAFÍA
BOGOTÁ 2001




MODELOS MATEMATICOS



En la ciencia, ingeniería, economía, e incluso en la psicología, con frecuencia deseamos describir o modelar el comportamiento de algunos fenómenos o sistemas en términos matemáticos este procesode modelado comienza con:

Identificación de las variables que son responsables de los cambios del sistema.
Un conjunto razonable de suposiciones acerca del sistema.

Tales suposiciones también incluyen cualquier ley empírica que se aplique al sistema. La descripción matemática de estos fenómenos e hipótesis, que llamamos modelo matemático del sistema, es en muchos casos una ecuacióndiferencial, o bien un sistema de ecuaciones diferenciales. Se espera que un modelo matemático razonable de un sistema tenga una solución congruente con el comportamiento conocido del sistema.



1. EL PENDULO SIMPLE

Cualquier objeto suspendido que oscila de un lado a otro se llama péndulo físico. El péndulo simple es un caso especial del péndulo físico y consiste en una varilla en cuyo extremo estáfijada una masa. Al describir el movimiento de un péndulo simple se supone, para simplificar, que la masa de la varilla puede despreciarse y que ninguna fuerza externa actúa en el sistema (como, por ejemplo, la resistencia del aire)


Primera ecuación: (1)



Ejemplo práctico:

Una masa m de peso W se suspende del extremo de una varilla de longitud constantel. Suponiendo que el movimiento se realiza en un plano vertical, se trata de determinar el ángulo de desplazamiento θ,medido con respecto a la vertical, en función del tiempo t (se considera θ > 0 a la derecha de OP y θ < 0a la izquierda de OP) Recuérdese que el arco s de un círculo de radio l se relaciona con el ángulo del centro θ por la fórmula s = l θ. Por lo tanto, laaceleración angular es:





De la segunda ley de Newton se obtiene,





Y en la figura 1 vemos que la componente tangencial de la fuerza debida al peso W es mg sen θ. Si no se tiene en cuenta la masa de la varilla y se igualan las dos expresiones de la fuerza tangencial para obtener




o bien (2)















mg sen θ

mg cosθ




Figura 1


Debido a la presencia de sen θ , la ecuación diferencial anterior es no lineal. También se sabe que por esta causa la ecuación diferencial no puede ser resuelta en términos de funciones elementales. Por lo que la siguiente modificación suele ser utilizada para simplificar el problema. Si los desplazamientos angulares θ no son demasiado grandes podemos usar laaproximación sen θ ~ θ, de modo que la ecuación anterior pueda reemplazase por la ecuación lineal de segundo orden


(3)



Si W² = g / l se observa que la ecuación anterior tiene exactamente la misma estructura que la primer ecuación diferencial, que rige las vibraciones libres de un peso en un resorte. El que una ecuación diferencial básica pueda describir muchosfenómenos físicos, o incluso fenómenos económicos diversos, es algo que sucede corrientemente en el estudio de las matemáticas aplicadas.


2. CUERDA ROTATORIA

Encontramos de nuevo en el estudio de una cuerda rotatoria la primer ecuación,


Ejemplo práctico:

Supóngase que una cuerda de longitud L con densidad lineal constante ρ (masa por unidad de longitud) es extendida a lo...