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OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA


Problemas resueltos y comentados por:
José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo

XXII OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA – CUBA, 1991

1.- La figura inferior muestra a una esfera homogénea de radio R. Antes de caer al suelo su centro de masas se encuentra en reposo, pero la esfera está girando con velocidad angular constanteo alrededor de un eje horizontal que pasa por su centro. El punto más bajo de la esfera se encuentra a una altura h sobre el suelo.











Cuando la esfera cae por acción de la gravedad, rebota hasta una altura h describiendo una parábola que forma un ángulo  con la dirección vertical. La deformación de la esfera en su impacto con el suelo es despreciable. Se admiteque no existe rozamiento con el aire y que el tiempo de contacto de la esfera con el suelo es pequeño pero finito.
El coeficiente de rozamiento entre la esfera y el suelo es  y el momento de inercia de la esfera respecto de un diámetro vale : .
Deben considerarse dos casos: I) La esfera desliza durante todo el tiempo que dura el impacto y II) el deslizamiento acaba antes de la duración delimpacto.

Caso I.- a) Calcular la tangente de  b) La distancia recorrida por el centro de masas de la bola entre el primero y segundo impacto, c) El valor mínimo de o para este caso.
Caso II.- a) Calcular tag  b) La distancia recorrida por el centro de masas de la bola entre el primero y segundo impacto
Establecer para ambos casos la variación de tag  con o

La esfera, justamenteantes del impacto con el suelo posee una velocidad angular o alrededor del eje que pasa por su centro y una velocidad lineal del centro de masas de dirección vertical y perpendicular al suelo cuyo módulo es:



Al chocar contra el suelo aparece una fuerza de percusión que designamos con N. Dada su naturaleza, esta fuerza es mucho mayor que el peso de la esfera. Tambiénaparece una fuerza horizontal de rozamiento fr.

N
o vy 2


fr vx

mg
Fig. 1

En el tiempo que dura el impacto, esto es, mientras la esfera está en contacto con el suelo, la fuerza de rozamiento ha acelerado linealmente al centro de masas por lo que éste adquiere una velocidad vx. Al mismo tiempo la fuerza de rozamiento crea un momento conrespecto al centro de masas que determina una disminución de la velocidad angular. La fuerza de percusión N es la causante de que sobre el centro de masas aparezca una velocidad vy. Teniendo en cuenta que el impulso de las fuerzas es igual a la variación de la cantidad de movimiento escribimos:
(1)
(2)
(3)
La duración del impacto es t2-t1 = t . En la ecuación (3) figuraun signo menos ya que el segundo miembro de la ecuación es negativo puesto que 2 es menor que o.

Caso I.- La esfera desliza durante todo el tiempo que dura el impacto

En este caso durante el tiempo que dura el impacto la velocidad angular no se reduce lo suficiente por lo que al final del impacto se cumple:
Durante todo el tiempo del impacto se cumple la relación:
Teniendo encuenta esta última ecuación junto con la (1) y (2) que valoran el incremento del momento lineal en sus dos componentes:
En el eje X , o sea
y sobre el eje Y que es:
Si la componente Y la multiplicamos por el factor , igualando los segundos miembros nos lleva a :


La velocidad vertical hacia arriba en el rebote hace que la bola suba hasta una altura h.Las ecuaciones del movimiento son : , cuando v=0 , y =h . Operando en las dos ecuaciones resulta t = y
Sustituimos en la ecuación,
(4)
Recordando, que según la ecuación (3)
(5)

Caso I.-a) Calcular la tangente de
(6)
que es independiente de o.

Caso I.-b) La distancia recorrida por el centro de masas de la bola entre el primero y segundo impacto
El alcance...