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Páginas: 23 (5603 palabras)
Publicado: 17 de julio de 2012
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Ing. Rubén Darío Estrella Sánchez, MBA
Cavaliere dell’ordine al Merito della Repubblica Italiana Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro
ministerio@atalayadecristo.org / rubenestrella@atalayadecristo.org www.atalayadecristo.org
INTRODUCCION Muchos de los fenómenos que encontramos en la naturaleza tienen ciertas simetrías con las cualespodemos sacar conclusiones que nos permitan entender tal situación de una manera simple. Muchos casos corresponden a problemas de la física y biología. Por ejemplo en física, conceptos como momentos angulares, tensores, etc., aparecen como propiedades de la teoría de grupos. En biología podemos entender moléculas y cristales por sus grupos de simetrías. Muchos temas se han propuesto como ejerciciospara que el estudiante pueda poner en práctica los conceptos ya estudiados. Por supuesto, esto
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podría tener la desventaja de producir una idea de aislamiento de los temarios tratados, lo cual no es nuestro propósito. En esta unidad se introducen los conceptos básicos del álgebra abstracta: operaciones binarias yestructuras algebraicas y sus propiedades, para poder interpretar numerosas situaciones de la vida cotidiana. A manera de repaso se revisarán algunas simbologías de la teoría de conjuntos y sus operaciones. OBJETIVOS • Identificar y Reconocer las propiedades de las operaciones binarias. • Reconocer y determinar elementos neutros y simétricos de diversas operaciones binarias. • Comprender el concepto deestructura algebraica. • Identificar los diferentes tipos de estructuras algebraicas a través de sus diferentes propiedades. • Identificar en diferentes situaciones los diferentes tipos de estructuras algebraicas. • Crear ejemplos de los diferentes tipos de estructuras algebraicas. • Resolver problemas donde intervienen estructuras algebraicas.
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ANTECEDENTES HISTORICOS
El matemático Evariste Galois (1811-1932) en víspera del duelo que lo llevaría a la muerte, entregó a un amigo notas de su último descubrimiento matemático para que fuesen vistas por los matemáticos Gauss y Jacobi con el objeto de que éstos sabios dieran su opinión sobre la importancia de sus descubrimientos. Los conceptos expuestos por Galoisreciben hoy el nombre de Teoría de Grupos, aplicable a la física de partículas y la cristalografía. Justo es hacer notar que dicha teoría estaba
esbozada en trabajos hechos por otros matemáticos Lagrange, Ruffini, Gauss y Nicolás Abel.
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Estructuras Algebraicas
Operación Binaria.
Una operación binaria * en un conjunto,es una regla que asigna a cada par ordenado de elementos de un conjunto, algún elemento del conjunto.
S es un conjunto no vacío y * es una función. Entonces * llamado una operación binaria sobre S, si y sólo si *: S x S S.
Si En otras palabras dado un conjunto no vacío cartesiano de
es
S
y el producto
(a,b) a*b.
le
S x S, * es una función de modo que a cada par ordenado hacecorresponder un único elemento de S simbolizado por
Toda operación interna en un conjunto se constituye en ley de composición en dicho conjunto. Por lo cual a las operaciones internas también se les llama ley de composición
Por ejemplo en el conjunto de los naturales cual también pertenece a los naturales N. Ejemplo: Si fuera la operación lo mismo si se dijera
N; la suma (*) es unaoperación interna ya que todo par ordenado (a,b) se le asigna otro valor, el
*(4,6) *(6,8)
4 * 6 = 10 6 * 8 = 14
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Veamos este ejemplo Sea el conjunto S
= {1, 2, 3} y la operación * definida como la suma de
a mas b menos 1 *
1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 3 3
Hay algunos espacios vacío porque el resultado es un elemento...
Ing. Rubén Darío Estrella Sánchez, MBA
Cavaliere dell’ordine al Merito della Repubblica Italiana Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro
ministerio@atalayadecristo.org / rubenestrella@atalayadecristo.org www.atalayadecristo.org
INTRODUCCION Muchos de los fenómenos que encontramos en la naturaleza tienen ciertas simetrías con las cualespodemos sacar conclusiones que nos permitan entender tal situación de una manera simple. Muchos casos corresponden a problemas de la física y biología. Por ejemplo en física, conceptos como momentos angulares, tensores, etc., aparecen como propiedades de la teoría de grupos. En biología podemos entender moléculas y cristales por sus grupos de simetrías. Muchos temas se han propuesto como ejerciciospara que el estudiante pueda poner en práctica los conceptos ya estudiados. Por supuesto, esto
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podría tener la desventaja de producir una idea de aislamiento de los temarios tratados, lo cual no es nuestro propósito. En esta unidad se introducen los conceptos básicos del álgebra abstracta: operaciones binarias yestructuras algebraicas y sus propiedades, para poder interpretar numerosas situaciones de la vida cotidiana. A manera de repaso se revisarán algunas simbologías de la teoría de conjuntos y sus operaciones. OBJETIVOS • Identificar y Reconocer las propiedades de las operaciones binarias. • Reconocer y determinar elementos neutros y simétricos de diversas operaciones binarias. • Comprender el concepto deestructura algebraica. • Identificar los diferentes tipos de estructuras algebraicas a través de sus diferentes propiedades. • Identificar en diferentes situaciones los diferentes tipos de estructuras algebraicas. • Crear ejemplos de los diferentes tipos de estructuras algebraicas. • Resolver problemas donde intervienen estructuras algebraicas.
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ANTECEDENTES HISTORICOS
El matemático Evariste Galois (1811-1932) en víspera del duelo que lo llevaría a la muerte, entregó a un amigo notas de su último descubrimiento matemático para que fuesen vistas por los matemáticos Gauss y Jacobi con el objeto de que éstos sabios dieran su opinión sobre la importancia de sus descubrimientos. Los conceptos expuestos por Galoisreciben hoy el nombre de Teoría de Grupos, aplicable a la física de partículas y la cristalografía. Justo es hacer notar que dicha teoría estaba
esbozada en trabajos hechos por otros matemáticos Lagrange, Ruffini, Gauss y Nicolás Abel.
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Estructuras Algebraicas
Operación Binaria.
Una operación binaria * en un conjunto,es una regla que asigna a cada par ordenado de elementos de un conjunto, algún elemento del conjunto.
S es un conjunto no vacío y * es una función. Entonces * llamado una operación binaria sobre S, si y sólo si *: S x S S.
Si En otras palabras dado un conjunto no vacío cartesiano de
es
S
y el producto
(a,b) a*b.
le
S x S, * es una función de modo que a cada par ordenado hacecorresponder un único elemento de S simbolizado por
Toda operación interna en un conjunto se constituye en ley de composición en dicho conjunto. Por lo cual a las operaciones internas también se les llama ley de composición
Por ejemplo en el conjunto de los naturales cual también pertenece a los naturales N. Ejemplo: Si fuera la operación lo mismo si se dijera
N; la suma (*) es unaoperación interna ya que todo par ordenado (a,b) se le asigna otro valor, el
*(4,6) *(6,8)
4 * 6 = 10 6 * 8 = 14
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Veamos este ejemplo Sea el conjunto S
= {1, 2, 3} y la operación * definida como la suma de
a mas b menos 1 *
1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 3 3
Hay algunos espacios vacío porque el resultado es un elemento...
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