Kike
Páginas: 14 (3332 palabras)
Publicado: 6 de enero de 2013
Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM a 10 de enero de 2011
´ Indice
3.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . o 3.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Fracciones parciales . . . . . . . . 3.4. Determinaci´n de curvas . . . . . o 3.5. Balanceo de Reacciones Qu´ ımicas 3.6. Aplicaciones a Manufactura . . . 3.7. Aplicaciones Diversas .. . . . . 3.8. Transferencia de Calor . . . . . . 3.9. Splines c´bicos . . . . . . . . . . u 3.10. Suma de los primeros cuadrados 3.11. Integraci´n num´rica . . . . . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 3 4 5 6 6 8 8 9
3.1.
Introducci´n o
En esta lectura veremos algunas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales. Las aplicaciones de la resoluciones de sistemas son innumerables, y por consiguiente es imposible pretender cubrir lasaplicaciones. Queda como reto personal encontrar situaciones donde surgan este tipo de problemas.
3.2.
Objetivo
La lectura pretende que usted conozca algunas de las situaciones que conducen a la resoluci´n de un sistema o de ecuaciones lineales. Notablemente, la t´cnica de las fracciones parciales, el ajuste de curvas y algunos m´s. e a
3.3.
Fracciones parciales
Una t´cnica muyconveniente utilizada en algunas tareas matem´ticas es aquella conocida como fracciones e a ´ parciales. Esta se aplica para simplificar integrales o transformadas de Laplace, por citar algunos ejemplos. La idea principal consiste en cambiar la forma que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra forma m´s conveniente para cierto tipo de c´lculo. a a Ejemplo 3.1 Determine los valores delas constantes a y b para que satisfagan: 1 a b = + (x − 2)(x + 3) x−2 x+3
Soluci´n o Se debe cumplir:
1 (x−2)(x+3)
= = = =
a x−2
+
b x+3
a (x+3)+b (x−2) (x−2) (x+3) ax+3a+bx−2b (x−2)(x+3) (3 a−2 b) + (a+b) x (x−2)(x+3)
Esto se cumple si: 1 + 0 ∗ x = 1 = (3 a − 2 b) + (a + b) x Es decir, si: 3a − 2b = 1 a + b = 0 El cual tiene como soluci´n: o a= 1 1 yb=− 5 5
Ejemplo 3.2(Forma dudosa) Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan: 2 + 2x + 2x2 a b = + (x + 1)(x2 + 1) x + 1 x2 + 1 Soluci´n o Se debe cumplir:
2+2x+2x2 (x+1)(x2 +1)
= = = =
a x+1
+
b x2 +1
a (x2 +1)+b (x+1) (x+1) (x2 +1) a x2 + a + b x + b (x+1)(x2 +1) (a+b) + (b) x+a x2 (x+1)(x2 +1)
Esto se cumple si: 2 + 2x + 2x2 = (a + b) + (b) x + a x2 Es decir, si: a + b =2 + b = 2 a = 2 El cual no tiene soluci´n. ¿Qu´ puede andar mal? La forma propuesta para la expresi´n en fracciones parciao e o les. Ejemplo 3.3 Determine los valores de las constantes a, b y c para que satisfagan: 2 + 2x + 2x2 a bx + c = + 2 2 + 1) (x + 1)(x x+1 x +1
2
Soluci´n o Se debe cumplir:
2x2 +2x+2 (x+1)(x2 +1)
= = = =
a x+1
+
bx+c x2 +1
a(x2 +1)+(bx+c)(x+1)(x+1)(x2 +1) ax2 +a+bx2 +bx+cx+c (x+1)(x2 +1) (a+b)x2 +(b+c)x+(a+c) (x+1)(x2 +1)
Esto se cumple si: 2x2 + 2x + 2 = (a + b)x2 + (b + c)x + (a + c) Es decir, si: a + b = 2 b + c = 2 a + c = 2 El cual tiene como soluci´n: o a = 1, b = 1 y c = 1
3.4.
Determinaci´n de curvas o
Un problema comun en diferentes ´reas es la determinaci´n de curvas. es decir el problema de encontrar a o la funci´n...
Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM a 10 de enero de 2011
´ Indice
3.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . o 3.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Fracciones parciales . . . . . . . . 3.4. Determinaci´n de curvas . . . . . o 3.5. Balanceo de Reacciones Qu´ ımicas 3.6. Aplicaciones a Manufactura . . . 3.7. Aplicaciones Diversas .. . . . . 3.8. Transferencia de Calor . . . . . . 3.9. Splines c´bicos . . . . . . . . . . u 3.10. Suma de los primeros cuadrados 3.11. Integraci´n num´rica . . . . . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 3 4 5 6 6 8 8 9
3.1.
Introducci´n o
En esta lectura veremos algunas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales. Las aplicaciones de la resoluciones de sistemas son innumerables, y por consiguiente es imposible pretender cubrir lasaplicaciones. Queda como reto personal encontrar situaciones donde surgan este tipo de problemas.
3.2.
Objetivo
La lectura pretende que usted conozca algunas de las situaciones que conducen a la resoluci´n de un sistema o de ecuaciones lineales. Notablemente, la t´cnica de las fracciones parciales, el ajuste de curvas y algunos m´s. e a
3.3.
Fracciones parciales
Una t´cnica muyconveniente utilizada en algunas tareas matem´ticas es aquella conocida como fracciones e a ´ parciales. Esta se aplica para simplificar integrales o transformadas de Laplace, por citar algunos ejemplos. La idea principal consiste en cambiar la forma que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra forma m´s conveniente para cierto tipo de c´lculo. a a Ejemplo 3.1 Determine los valores delas constantes a y b para que satisfagan: 1 a b = + (x − 2)(x + 3) x−2 x+3
Soluci´n o Se debe cumplir:
1 (x−2)(x+3)
= = = =
a x−2
+
b x+3
a (x+3)+b (x−2) (x−2) (x+3) ax+3a+bx−2b (x−2)(x+3) (3 a−2 b) + (a+b) x (x−2)(x+3)
Esto se cumple si: 1 + 0 ∗ x = 1 = (3 a − 2 b) + (a + b) x Es decir, si: 3a − 2b = 1 a + b = 0 El cual tiene como soluci´n: o a= 1 1 yb=− 5 5
Ejemplo 3.2(Forma dudosa) Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan: 2 + 2x + 2x2 a b = + (x + 1)(x2 + 1) x + 1 x2 + 1 Soluci´n o Se debe cumplir:
2+2x+2x2 (x+1)(x2 +1)
= = = =
a x+1
+
b x2 +1
a (x2 +1)+b (x+1) (x+1) (x2 +1) a x2 + a + b x + b (x+1)(x2 +1) (a+b) + (b) x+a x2 (x+1)(x2 +1)
Esto se cumple si: 2 + 2x + 2x2 = (a + b) + (b) x + a x2 Es decir, si: a + b =2 + b = 2 a = 2 El cual no tiene soluci´n. ¿Qu´ puede andar mal? La forma propuesta para la expresi´n en fracciones parciao e o les. Ejemplo 3.3 Determine los valores de las constantes a, b y c para que satisfagan: 2 + 2x + 2x2 a bx + c = + 2 2 + 1) (x + 1)(x x+1 x +1
2
Soluci´n o Se debe cumplir:
2x2 +2x+2 (x+1)(x2 +1)
= = = =
a x+1
+
bx+c x2 +1
a(x2 +1)+(bx+c)(x+1)(x+1)(x2 +1) ax2 +a+bx2 +bx+cx+c (x+1)(x2 +1) (a+b)x2 +(b+c)x+(a+c) (x+1)(x2 +1)
Esto se cumple si: 2x2 + 2x + 2 = (a + b)x2 + (b + c)x + (a + c) Es decir, si: a + b = 2 b + c = 2 a + c = 2 El cual tiene como soluci´n: o a = 1, b = 1 y c = 1
3.4.
Determinaci´n de curvas o
Un problema comun en diferentes ´reas es la determinaci´n de curvas. es decir el problema de encontrar a o la funci´n...
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