Kike

Expresiones Algebraicas

Conceptos b´asicos

Ejercicios resueltos

1. Calcular la suma de las siguientes expresiones algebraicas:
x3 + 2x2 y − 4xy 2 ,

2x3 − 4x2 y + 3y 3 ,

2xy 2 − 4y 3

Soluci´
on:
x3 + 2x2 y − 4xy 2
2x3 − 4x2 y
+ 3y 3
2xy 2 − 4y 3
suma: 3x3 − 2x2 y − 2xy 2 − y 3

2. Simplificar cada expresi´on:
(a) (2a3 + a2 − 3a − 5) − (a3 − 3a2 + 4a − 7)
(b) 5a − (2a − (4a + 2b − (a − 3b)))Soluci´
on:
(a) (2a3 + a2 − 3a − 5) −(a3 − 3a2 + 4a − 7) =
= 2a3 + a2 − 3a − 5 − a3 + 3a2 − 4a + 7
= a3 + 4a2 − 7a + 2
(b) 5a − (2a − (4a + 2b −(a − 3b))) =
= 5a − (2a − (4a + 2b − a + 3b))
= 5a − (2a − (3a + 5b))
= 5a − (2a − 3a − 5b) = 5a − (−a − 5b)
= 5a + a + 5b
= 6a + 5b

7

Expr. algebraicas - Conceptos b´asicos

Ejercicios resueltos

8

3. Evaluar cada expresi´on algebraica, considerandoel valor asignado a cada variable:
(a) (a + b)2 − (a2 + b2 ), para a = 12, b = −4
x y z
1
(b) + − , para x = , y = −1, z = 3.
y z x
2
Soluci´
on:
(a) Sustituyendo a = 12, b = −4
(a + b)2 − (a2 + b2 ) = (12 + (−4))2 − (122 + (−4)2 )
= 82 − (144 + 16) = −96
1
(b) Sustituyendo x = , y = −1, z = 3
2
1/2 −1
3
x y z
+ −
=
+
−
y z x
−1
3
1/2
1 1
−3 − 2 − 36
41
=−
=− − −6=
2 3
6
6

4. Efectuar cadaoperaci´on indicada.
(a) xy 2 (x2 − 2y + 4)
(b) x(y − z) − y(x − z) + z(y − x)
Soluci´
on:
(a) xy 2 (x2 − 2y + 4) = x3 y 2 − 2xy 3 + 4xy 2
(b) x(y − z) − y(x − z) + z(y − x) = xy − xz − yx + yz + zy − zx = 2yz − 2xz

Inst. de Matem´atica y F´ısica

Universidad de Talca

Expr. algebraicas - Conceptos b´asicos

Ejercicios resueltos

9

5. Efectuar cada multiplicaci´on y reducir los t´erminos semejantes:(a) (7x2 y 2 − 2y)(7x2 y 2 + 2y)
(b) (a2 − 2ab + 4b2 )(a + 2b)
Soluci´
on:
(a) (7x2 y 2 − 2y) (7x2 y 2 + 2y) =
= (7x2 y 2 )(7x2 y 2 ) + (7x2 y 2 )(2y) − (2y)(7x2 y 2 ) − (2y)(2y)
= 49x4 y 4 + 14x2 y 3 − 14x2 y 3 − 4y 2 = 49x4 y 4 − 4y 2
(a) (a2 − 2ab + 4b2 )(a + 2b) = a3 + 2a2 b − 2a2 b − 4ab2 + 4ab2 + 8b3
= a3 + 8b3

6. Efectuar cada operaci´on indicada.
(a) (1 + a)(2 + a)(3 + a)
(b) (a4 + a3 b +a2 b2 + ab3 + b4 )(a − b).
Soluci´
on:
(a) (1 + a)(2 + a)(3 + a) = (2 + a + 2a + a2 )(3 + a)
= (2 + 3a + a2 )(3 + a)
= 6 + 2a + 9a + 3a2 + 3a2 + a3
= 6 + 11a + 6a2 + a3
(b) (a4 + a3 b + a2 b2 + ab3 + b4 )(a − b) =
= (a5 + a4 b + a3 b2 + a2 b3 + ab4 ) − (a4 b + a3 b2 + a2 b3 + ab4 + b5 )
= a5 − b 5

Inst. de Matem´atica y F´ısica

Universidad de Talca

Expr. algebraicas - Conceptos b´asicosEjercicios resueltos

10

7. Realizar las operaciones indicadas y simplificar.
3x − 2 x − 3 1 − x
−
−
3
2
6
x + 1 x − 3 2y − x
−
−
(b)
x
y
xy
(a)

Soluci´
on:
2(3x − 2) − 3(x − 3) − (1 − x)
3x − 2 x − 3 1 − x
(a)
−
−
=
3
2
6
6
6x − 4 − 3x + 9 − 1 + x 4x + 4
=
6
6
2x + 2
=
3
x + 1 x − 3 2y − x
y(x + 1) − x(x − 3) − (2y − x)
(b)
−
−
=
x
y
xy
xy
2
xy + y − x + 3x − 2y + x
=
xy
2
xy − y − x + 4x
=
xy
=

8.Efectuar las operaciones indicadas y simplificar.
3
4
−
x2 + x 2x
4x + 1
3
x+1
+
+
(b)
1 − 2x 2x − 1 2 − 4x
(a)

Soluci´
on:
4
3
8 − 3(x + 1) 8 − 3x − 3
(a) 2
−
=
=
x + x 2x
2x(x + 1)
2x(x + 1)
=
Inst. de Matem´atica y F´ısica

5 − 3x
2x(x + 1)
Universidad de Talca

Expr. algebraicas - Conceptos b´asicos

(b)

Ejercicios resueltos

11

x+1
4x + 1
3
−x − 1 4x + 1
3
+
+
=
+
−
1 − 2x 2x − 1 2 − 4x2x − 1
2x − 1 2(2x − 1)
=

6x − 3
−2x − 2 + 8x + 2 − 3
=
2(2x − 1)
2(2x − 1)

=

3(2x − 1)
2(2x − 1)

=

3
2

x=

1
2

9. Efectuar las operaciones indicadas y comprobar el resultado.
(a) (8x4 y 3 z 2 − 12x6 y 3 z) : (−4x2 y 2 z)
(b)

27x3 y 2 z 3 24x4 y 4 z 6 12x5 y 4 z 6 18x5 y 3 z 4
−
+
+
3xyz
6x3 y 2 z 4
4x3 y 3 z 4
9x4 yz 2

Soluci´
on:
8x4 y 3 z 2 − 12x6 y 3 z
(a) (8x y z − 12x y z) : (−4x yz) =
−4x2 y 2 z
4 3 2

6 3

2 2

8x4 y 3 z 2
12x6 y 3 z
=
−
−4x2 y 2 z −4x2 y 2 z
= −2x2 yz + 3x4 y
Comprobaci´
on:
(−2x2 yz + 3x4 y)(−4x2 y 2 z) = 8x4 y 3 z 2 − 12x6 y 3 z

Inst. de Matem´atica y F´ısica

Universidad de Talca

Expr. algebraicas - Conceptos b´asicos

Ejercicios resueltos

27x3 y 2 z 3
24x4 y 4 z 6
(b)
−
3xyz
6x3 y 2 z 4

12

12x5 y 4 z 6
18x5 y 3 z 4
+
+
=
4x3 y 3 z 4
9x4 yz 2...