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CUANTIFICADORES
Dr. Carlos Silva Córdova

1. Funciones proposicionales
Consideremos las siguientes proposiciones:
q : El perro es un animal.
r : La rosa es un animal.
s : La vaca es un animal.
Las tres proposiciones tienen en común el predicado linguístico “es un animal”, y tienen diferente el sujeto. La frase “es un animal” está dando una propiedad del sujeto. Si escribimos: x es unanimal, obtenemos una oración que no es una proposición dado que su valor de verdad dependería del valor de x. Así, si a x le damos el valor x = “El perro” obtenemos la proposición El perro es un animal que es verdadera, mientras que si a x le damos el valor x = “La rosa” obtenemos la proposición La rosa es un animal que es falsa.
En este ejemplo, la frase x es un animal es una es una funciónproposicional, y la variable x toma valores en un conjunto llamado universo del discurso. Entonces, las funciones proposicionales no son proposiciones, pero para cada valor que le demos a x obtenemos una proposición. A las funciones proposicionales las denotamos con una letra mayúscula seguida de la variable entre paréntesis. Por ejemplo: P(x) : x es un animal. También podemos tener funcionesproposicionales con más de una variable, por ejemplo x es mayor que y.
El valor de verdad en estos casos dependería de los valores que tomen las variables x e y. Así, si x = 0 e y = 3, la proposición 0 es mayor que 3 es falsa, mientras que si x = 4 e y = 2, la proposición 4 es mayor que 2 es verdadera.

2. Cuantificadores
Los cuantificadores nos permiten construir proposiciones a partir de funcionesproposicionales ya sea particularizando o generalizando. Ejemplifiquemos esto. Si consideramos la función proposicional P(x) : x es mayor que 0, podemos particularizar esto diciendo:
Existe un número real que es mayor que 0, o generalizarlo diciendo
Todos los números reales son mayores que 0.
Notemos que tanto en la particularización como en la generalización se especifica un conjunto en dondetoma valores la variable, en este ejemplo el conjunto son los números reales.
Existe una notación específica para la particularización y la generalización:
∃x ∈ R | x > 0,
que se lee existe un x ∈ R tal que x es mayor que 0; mientras que
∀x ∈ R, x > 0
se lee para todo x ∈ R se cumple que x es mayor que 0.
El símbolo ∀ se llama cuantificador universal
y el símbolo ∃ es el cuantificadorexistencial
Como ya lo hemos afirmado, un cuantificador transforma una función proposicional en una proposición, a la cual se le asigna un valor de verdad.
EJEMPLO 2.1. Consideremos la función proposicional P(x): 2x es par. Entonces la proposición ∀n ∈ N, P(n), es decir, “para todo n natural se cumple que 2 ・ n es par”, es equivalente a enunciar
2 ・ 1 es par y 2 ・ 2 es par y 2 ・ 3 es par y 2 ・ 4 espar y ....
Por lo tanto esta proposición sería verdadera si todas las proposiciones P(n) son verdaderas, y sería falsa si al menos una de ellas es falsa.
EJEMPLO 5. Dada la función proposicional
P(x): x es un número mayor que 1, entonces la proposición ∀x ∈ N, P(x) nos está enunciando que cualquiera sea el número natural x, se cumple que x es mayor que 1. Por lo tanto la proposición es falsa yaque 1 es un número natural que no es mayor que 1, es decir, la proposición P(1) es falsa. No importa que para todos los demás valores de x la proposición P(x) sea verdadera.
Si aplicamos el cuantificador existencial y enunciamos ∃x ∈ N | P(x), es equivalente a enunciar 1 es mayor que 1 o 2 es mayor que 1 o 3 es mayor que 1 o 4 es mayor que 1 y así siguiendo. Esta proposición es verdadera, puesal menos existe un número natural, por ejemplo el 3, para el cual se cumple P(3) verdadero, es decir, 3 es mayor que 1.
Si P(x) es una función proposicional, entonces la proposición ∀x ∈ A, P(x) es verdadera si y sólo si P(a) es verdadera para todos los a ∈ A.
Si P(x) es una función proposicional, entonces la proposición ∃x ∈ A | P(x) es verdadera si y sólo si P(a) es verdadera para algún a ∈...