kirkendall

Difusión
Enfoque Fenomenológico
2da ley de Fick
Solución Par de Sólidos Semi-infinitos
Ma. Eugenia Noguez Amaya

Objetivos
• Soluciones de sistemas, solución a partir de matriz inversa
• Entender el experimento Kirkendall la difusión de 2 metales en
un par difusor
• Marcadores y su desplazamiento en un par difusor (efecto
Kirkendall)
• Ecuaciones de Darken para obtener loscoeficientes de
difusión para cada especie
• Solución de la 2da ley de Fick Par de Sólidos Semi-Infinitos
como modelo del par difusor

Sistemas de Ecuaciones y Solución a
partir de Matriz inversa
• Un sistema de ecuaciones lineales Algebraicas con incognitas
𝑥, 𝑦 se puede representar con notación de matrices de la
siguiente forma
• 𝑎 𝑥+ 𝑏 𝑦= 𝑐
𝑎 𝑏 𝑥
•
=
𝑑 𝑒 𝑦
• 𝑨𝑿 = 𝑩

𝑑 𝑥+ 𝑒 𝑦= 𝑓
𝑐
𝑓• La Matriz generalmente se le llama matriz de coeficientes y se
puede obtener la solución del sistema de ecuaciones usando
su matriz inversa
• 𝑿 = 𝑨−𝟏 𝑩

Experimento Kirkendall
• El experimento Kirkendall se basa en un par de solidos que se
introducen en una mufla con la temperatura necesaria para
promover la difusión, pero además se agrega un tercer solido entre
ellos que no difundecomo marcador de la interfase entre los solidos

• Lo que se observa después de un tiempo 𝑡 y a una temperatura 𝑇
además de haberse presentado la difusión los marcadores de 𝑀𝑜 se
movieron hacia el centro donde se encuentra el 𝑍𝑛

Experimento Kirkendall
• Observando detenidamente la interfase entre 𝐶𝑢 y 𝑍𝑛 se observa lo
siguiente

• Revisando los puntos de fusión se puede uno dar cuentaque el 𝑍𝑛
difunde más rápido que el 𝐶𝑢 dejando vacancias que el 𝐶𝑢 no puede
llenar
• Cu 𝑇 𝑚 = 1085 °𝐶
• Zn 𝑇 𝑚 = 420 °𝐶

Experimento Kirkendall
• Otra cosa interesante es lo que sucede con los marcadores que se mueven
en hacia el solido de 𝑍𝑛

• Los marcadores no son arrastrados por el paso del 𝑍𝑛. Se podría pensar que
sucede como en un fluido donde la corriente arrastra lo que esté asu paso.
En este caso los átomos de 𝑍𝑛 forman nuevos planos en el solido de 𝐶𝑢
empujando a los marcadores hacia el solido de 𝑍𝑛.

Términos utilizados
• 𝐷𝐴 =

• 𝐷=

𝑚2
𝑠

𝑚2
𝑠

coeficiente de difusión de la especie A

coeficiente de interdifusividad para una mezcla

• 𝑋 𝐴 = [𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙] fracción másica de A en una mezcla
• 𝑣

𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠

• ∆𝑥 =

=

𝑚
𝑠

velocidad delos marcadores

𝑚 desplazamiento de los marcadores

Experimento Kirkendall y
Ecuaciones de Darken
• El objetivo del experimento Kirkendall es probar que uno de
los dos metales difunde mas rápido, pero además poder
conocer sus coeficientes de difusión 𝐷 𝐶𝑢 y 𝐷 𝑍𝑛 por separado
• Las ecuaciones de Darken aprovechan el desplazamiento de
los marcadores para determinar los coeficientes dedifusión
por separado. 𝐴 = 𝑍𝑛 y 𝐵 = 𝐶𝑢
𝑣

𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠

𝑣

=

𝐷𝐴 − 𝐷 𝐵

𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠

𝐷=

=

𝜕𝑋 𝐴
𝜕𝑥

∆𝑥
2𝑡

𝑋 𝐵 𝐷𝐴 + 𝑋𝐴 𝐷 𝐵

Ecuaciones de Darken
• El termino

𝜕𝑋 𝐴
𝜕𝑥

es la pendiente en el origen 𝑥 = 0

• Ambas ecuaciones de Darken resultan en un sistema de
ecuaciones que permite conocer 𝐷 𝐴 y 𝐷 𝐵

𝜕𝑋 𝐴
𝜕𝑥
𝑋𝐵

𝜕𝑋 𝐴
−
𝜕𝑥
𝑋𝐴

𝐷𝐴
𝐷𝐵

∆𝑥
= 2𝑡
𝐷Solución Par de Sólidos Semi-infinitos
• Esta solución se utiliza cuando se colocan dos piezas juntas
(par difusor) con la temperatura necesaria para la difusión
sustitucional.
• El sistema que se analiza son dos sólidos muy grandes que
interaccionan en una pequeña zona donde uno difunde en el
otro.
• Dentro de las consideraciones está que los sólidos son lo
suficientemente grande para que lacomposición en el interior
no se modifique significativamente

Términos utilizados en la solución Par de
Sólidos Semi-infinitos
• 𝐶 𝐴,1 y 𝐶 𝐴,2 son las composiciones del elemento 𝐴 en los
solidos 1 y 2 respectivamente
• Ejemplo: se pone un par difusor donde un solido es de Cu (solido
1) y el otro es de Zn (solido 2) ambos obtenidos por
electrodeposición con alta pureza
• 𝐶 𝐶𝑢,1 = 100...