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Variable aleatoria
Una variable aleatoria o variable estocástica es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio. Formalmente, una variable aleatoria es una función, que asigna eventos (los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (su suma).
Los valores posibles de una variable aleatoriapueden representar los posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (como resultado de medición incompleta o imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para describirla probabilidad de que se den los diferentes valores.
Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lógicos, funciones... el término elemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados.
Concepto
Una variable aleatoria puede concebirse como un valor numérico que está afectado por el azar. Dada unavariable aleatoria no es posible conocer con certeza el valor que tomará esta al ser medida o determinada, aunque sí se conoce que existe una distribución de probabilidad asociada al conjunto de valores posibles. Por ejemplo, en una epidemia de cólera, se sabe que una persona cualquiera puede enfermar o no (suceso), pero no se sabe cuál de los dos sucesos va a ocurrir. Solamente se puede decir queexiste una probabilidad de que la persona enferme.
Para trabajar de manera sólida con variables aleatorias en general es necesario considerar un gran número de experimentos aleatorios, para su tratamiento estadístico, cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. De este modo se establece una relación funcional entreelementos del espacio muestral asociado al experimento y números reales.
Rango de una variable aleatoria
Se llama rango de una variable aleatoria X y lo denotaremos RX, a la imagen o rango de la función , es decir, al conjunto de los valores reales que ésta puede tomar, según la aplicación X. Dicho de otro modo, el rango de una v.a es el recorrido de la función por la que ésta queda definida:

Tiposde variables aleatorias
Variable aleatoria discreta: una v.a. es discreta si su recorrido es un conjunto discreto, es decir, es aquella variable que solo puede tomar valores enteros.
Variable aleatoria continua: una v.a. es continua si su recorrido no es un conjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de númerosreales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extraída de una determinada población es una variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2,50 m, es posible.6 (véanse las distribuciones de variable continua).
Distribución de probabilidad de una v.a.
La distribución de probabilidad de una v.a. X, también llamada función de distribución de Xes la función , que asigna a cada evento definido sobre una probabilidad dada por la siguiente expresión:

y de manera que se cumplan las siguientes tres condiciones:
1. y
2. Es continua por la derecha.
3. Es monótona no decreciente.
La distribución de probabilidad de una v.a. describe teóricamente la forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio. Intuitivamente se trataríade una lista de los resultados posibles de un experimento con las probabilidades que se esperarían ver asociadas con cada resultado.
Funciones de variables aleatorias
Sea una variable aleatoria sobre y una función medible de Borel , entonces será también una variable aleatoria sobre , dado que la composición de funciones medibles también es medible a no ser que sea una función medible de...