kjio

12. Criterio de estabilidad de Nyquist
12.1 Gráfica de Nyquist
Gráfica de L(jω) = G(jω)H(jω) en coordenadas polares de Im[L(jω)],
Re[L(jω)] con ω variando desde ∞ hasta 0.
Características:
• provee información sobre: la estabilidad relativa, el grado de
inestabilidad y la estabilidad absoluta.
• proporciona información sobre las características en el dominio de la
frecuencia Tr, ωr y BWde G(s)H(s).
• es útil para sistemas con retardos puros (ec. (12.2)) que no se
pueden tratar con el criterio de Routh-Hurwitz y que son difíciles de
analizar con el método del lugar de las raíces.
12.2 Criterio de Nyquist
Método aproximado para conocer la localización de las raíces de la
ecuación característica con respecto a los semiplanos izquierdo y derecho.

T(s)

=

G(s)

1+ G(s)H(s)
1 24
4 3

(12.1)

G0 ( s )

G(s)H(s) =

K(1+ T1s)(1+ T2 s)K (1+ Tm s)

− Tds

e
sp (1+ T s)(1+ T s)K (1+ T s)
a

b

(12.2)

n

con:
Ts : coeficientes reales o complejos conjugados
Td : retardo real
El polinomio denominador ∆s = 1+G(s)H(s) se hace igual a cero
∆s = 1+G(s)H(s) =0
Si definimos L(s)=G(s)H(s) podemos escribir

(12.3)

∆s = 1+L(s) =0

(12.4)Análisis de Sistemas Lineales
Ing. Eduardo Interiano

113

donde L(s) es equivalente a G0(s) usada para el análisis del lugar de las
raíces.
• Los ceros de 1+L(s) son los polos de la función de transferencia de
lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica (12.4).
• Los polos de 1+L(s) son los polos de la funcion de lazo abierto.
• Los polos de 1+L(s) son los polos de L(s).12.2.1 Encierro e inclusión

Encierro:
Un punto o una región en un plano de una función compleja se dice
encerrado por una trayectoria cerrada si está dentro de la trayectoria.

Figura 12.1: Ejemplo de encierro. A está encerrado por la trayectoria Γ en
la dirección CCW. B no está encerrado por Γ.
Inclusión:
Un punto o región se dice incluido por una trayectoria cerrada si está„encerrado“ en la dirección contraria a las manecillas del reloj (CCW), o el
punto o región está a la izquierda de la trayectoria cuando ésta se recorre
en la dirección prescrita.

Análisis de Sistemas Lineales
Ing. Eduardo Interiano

114

a)

b)

Figura 12.2: Ejemplo de inclusión. a) A está encerrado en la dirección CCW
y por lo tanto está incluido. b) B está a la izquierda en la
direcciónprescrita y por ello incluido.
12.2.2 Número de encierros e inclusiones

a

b

Figura 12.3: Número de encierros e inclusiones. El punto A está encerrado
una vez y el punto B dos veces por Γ.
Análisis de Sistemas Lineales
Ing. Eduardo Interiano

115

N: Es el número de veces que un punto está encerrado. El valor de N se
determina trazando una recta desde el punto en cuestión hastacortar
todas las veces que sea necesario la trayectoria Γ. Se suman
algebráicamente las intersecciones de la recta con la trayectoria Γ.
El principio del argumento (criterio de Cauchi):
N=Z-P

(12.5)

donde:
N : número de encierros del origen hechos por el lugar geométrico Γ∆ en el
plano ∆(s). Por definición N es positivo para encierros en la dirección
contraria a las manecillas del reloj(CCW) y negativo para encierros en
la dirección del reloj (CW).
Z : número de ceros de ∆(s) encerrados por ΓS en el plano s.
P : número de polos de ∆(s) encerrados por ΓS en el plano s.

Figura 12.4: Trayectoria de Nyquist
La estabilidad del sistema de lazo cerrado puede determinarse al
graficar el lugar geométrico ∆(s) = 1 + L(s) cuando s toma valores a lo largo
de la trayectoria de Nyquiste investigando en comportamiento de la traza
∆(s) con respecto al punto crítico s = 0; en este caso el origen del plano
∆(s). De la gráfica en ∆(s) se infiere el comportamiento en s.
También se puede graficar en el plano L(s) y analizar el
comportamiento respecto al punto crítico (-1, j0) en el plano L(s).
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Para sistemas...