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CBC – Sede Santa Teresita
Metodología de las Cs. Sociales

Prof. Víctor Garay
Prof. Alejandro Laregina

Ficha de cátedra (para uso exclusivo de los alumnos)

Geometrías no euclideanas:

Los cinco postulados de Euclides dicen:

1. Es posible trazar una recta desde un punto a otro punto.
2. Una recta se extiende indefinidamente en una y otra dirección.
3. Dibujar un círculo concentro y radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. “Si una recta corta otras dos rectas formando a un lado ángulos interiores del mismo lado de un ángulo recto, entonces si las dos rectas se prolongan indefinidamente, se encuentran del lado en que los ángulos son menores que dos rectos”, es decir, “por un punto exterior a una recta A pasa sólo una recta B paralela a A” (Playfair).Lobatchevsky demuestra que el quinto postulado es independiente de los otros, porque negando el quinto postulado y afirmando todos los otros no obtiene contradicción alguna. Entonces no es posible demostrarlo a partir de los otros.

Geometría euclídea: todas las consecuencias lógicas que pueden extraerse del sistema euclídeo.
Geometría no euclídea (sentido histórico y restringido):geometría que se sostiene negando algunos de los postulados de Euclides, en particular el quinto.
Geometría absoluta: la que se obtiene a partir de los primeros cuatro postulados. La geometría no euclídea contiene a la geometría absoluta.








Lobatchevsky: geometría absoluta + quinto postulado cambiado por “por un punto exterior a una recta pasa más de unaparalela.

Paralelas: En el plano hiperbólico, por el punto exterior a la recta A pasan infinitas rectas que no intersecan a A. Pero paralelas sólo hay dos, y son las que forman el ángulo μ, el ángulo de paralelismo. En Euclides, basta que sea no intersectante para que sea paralela. En hiperbólica, toda paralela es no intersectante pero no toda no intersectante es paralela. Las paralelas son lasque forman con h un ángulo alfa, que es el menor ángulo tal que las rectas que pasan por q y forman el ángulo alfa con h, no cortan la recta a. Si las rectas obtienen un ángulo menor a alfa, intersecan; las que tienen un ángulo mayor a alfa, son “no intersectantes”.

En Euclides, el ángulo de paralelismo es siempre 90° . Pero en la geometría hiperbólica, el ángulo de paralelismo, μ, esvariable, y se caracteriza por:
1. Es mayor a 0° y menor a 90°
2. tiende a 0° (disminuye) cuando la distancia h tiende a ser infinita (aumenta)
3. tiende a 90° (aumenta) cuando a distancia h tiende a 0 (disminuye).
cuando μ es 45°, las rectas b1 y b2 son perpendiculares entre sí, y paralelas a A, lo cual sería imposible en la geometría euclídea.




En Euclides, la suma de los ángulosinteriores de un triángulo es 180°. Pero en la geometría hiperbólica:

1. Es menor que 180°
2. La suma de los ángulos interiores del triángulo = 180° - delta (delta es directamente proporcional al área del triángulo).
3. Cuanto menor sea el área, la suma de sus ángulos interiores tiende a 180°.
4. Pero no tiende a 0° cuando el área aumenta, porque en realidad el área de un triángulo no puede tender ainfinito; hay un máximo de amplitud para los triángulos de la geometría hiperbólica. Delta no puede ser 180°.

En Euclides, todo triángulo de la misma forma es semejante, y si tiene el mismo tamaño es congruente. En la hiperbólica, sólo son semejantes los que son congruentes.
En Euclides, el espacio no tiene curvatura. En la hiperbólica, la curvatura es constante pero negativa, siempre menosque cero. La de Riemann es de curvatura constante pero positiva (como la superficie de una esfera).

La geometría de Lobatchevsky pareciera aplicarse a triángulos físicamente muy grandes, cuya suma de ángulos medirá menos que 180°. Y su postulado de las paralelas parece darse en espacios distantes, que están más allá de la experiencia humana. Los rayos de luz pueden tener trayectorias...