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Sistemas con más incógnitas que ecuaciones.

Comenzamos analizando un sistema homogéneo con n incógnitas y m ecuaciones, tal que m < n, es decir un sistema homogéneo con más incógnitas queecuaciones:



Veremos que todo sistema de este tipo tiene infinitas soluciones, para lo cual basta mostrar una solución no trivial de un tal sistema, porque cualquiera de los infinitos múltiplos de éstatambién es solución del sistema en cuestión.
La matriz asociada de este sistema:

A =

es “oblonga” (más larga que ancha) y su forma escalonada reducida es la matriz Rmxn.
Si R tiene unacolumna nula, digamos la k – ésima, entonces el vector columna nx1:



Con un uno en su coordenada k y ceros en el resto, es una solución no trivial del sistema que estudiamos.

Si R no tienecolumnas nulas, entonces es de la forma:

R =

En este caso el vector columna nx1



es una solución no trivial al sistema homogéneo.

Una vez establecido que todo sistema homogéneo con másincógnitas que ecuaciones tiene infinitas soluciones, sólo resta estudiar los sistemas no homogéneos con más incógnitas que ecuaciones.

Considere el sistema no homogéneo: (1) Ax = b con másincógnitas que ecuaciones, es decir; A tiene más columnas: n, que filas: m y sea (2) Ax = 0 su sistema homogéneo asociado.
Como vimos, el sistema (2) tiene infinitas soluciones. Ahora bien, el sistema(1) podría ser inconsistente, sin soluciones, pero si es consistente, entonces su solución general se expresa como la suma de una solución particular del mismo más la solución general del sistemahomogéneo, de donde tiene infinitas soluciones.

En la siguiente tabla resumimos las posibles situaciones para sistemas con más incógnitas que ecuaciones:






Tabla para sistemas con másincógnitas que ecuaciones
Tipo de sistema
Conjunto de soluciones
Homogéneo
Infinitas soluciones
No homogéneo
consistente
Infinitas soluciones

inconsistente
Vacío


Falta ilustrar con...