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La función exponencial y logarítmica

Distintas formas de crecer
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Crecimiento lineal
1. El precio de las naranjas en el mercado es de s/ 1’20 por kilo. Naturalmente, si se compran

dos kilos el precio se duplica, y así sucesivamente.

Las magnitudes peso y precio son directamente proporcionales. Si el peso lo representamos por
x y el precio por y, se verifica que y = 1’2 x.
Sirepresentamos en una gráfica la función anterior obtenemos una recta que pasa por el
origen.
La representación gráfica de la función anterior es una recta que no pasa por el origen.

Represéntala.

2. La relación entre los lados de un rectángulo de perímetro fijo viene dada por: P = 2.x + 2.y
de donde y=(P-2.x)/2 y simplificando: y=P/2 - x . Si el valor del perímetro fuese de 10
unidades, porejemplo, la relación entre los lados sería: y=5-x

“Siempre que el lado x aumente 1 unidad, el lado y disminuye 1 unidad”
Todos los ejemplos estudiados son ejemplos de crecimiento lineal; a una misma variación de la
variable independiente “x” le corresponde siempre la misma variación de la variable dependiente
“y”

La función exponencial
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Crecimiento exponencial

El crecimiento odecrecimiento exponencial se suele utilizar en el lenguaje ordinario, sin tener, en
muchos casos, una idea clara de su significado matemático, para describir situaciones como las
siguientes:
 ¡Si la población mundial aumenta de forma exponencial, en unos años las grandes ciudades serán
incapaces de absorber el crecimiento demográfico!
 ¡Si las reservas de agua decrecen de forma exponencial, enun breve lapso de tiempo no podremos
disponer de agua potable para el consumo humano!
 ¡Existe la opinión generalizada de que mientras la población aumenta de forma exponencial (en
progresión geométrica), los alimentos lo hacen de forma lineal (en progresión aritmética)! ¿Qué
ocurrirá en el futuro si esto es cierto?
Aunque son muchas las situaciones que describen un crecimiento exponencial,está íntimamente
ligado al crecimiento de las poblaciones (ya sean de personas, animales, bacterias, árboles, ...) en las
que el crecimiento de la población depende del número de individuos que la componen.
El crecimiento exponencial también está ligado problemas relacionados con el interés producido por
un capital y con situaciones de desintegración radiactiva. Estos casos los estudiaremosmás
adelante.
Ejemplo 1: Una población crece a un ritmo del 2%
anual. Estudia la expresión que relaciona el
número habitantes con el tiempo transcurrido.
Supongamos una población de N habitantes:
 Inicialmente hay N habitantes.
 Al cabo de un año habrá N +2% de N =
N + 0’02 . N = N. (1 + 0’02) = 1’02 . N

Al cabo de dos años habrá:
1’02N + 2% de 1’02N = 1’02.N + 0’02.1’02.N =1’02.N(1+0’02) = 1’02.N.1’02 = N x 1’022
Para los años sucesivos formamos la siguiente
tabla:
Tiempo
Población
transcurrido
0

N

1

N + 2%N = N + 0’02.N = (1+0’02)N = 1’02.N

2

1’02.N + 2%(1’02N) = 1’02.N + 0’02.1’02.N = (1+0’02).1’02.N = 1’02 2.N

3

1’022.N + 2%(1’022N) = 1’022.N + 0’02.1’022.N = (1+0’02).1’022.N = 1’023.N

...

...

10

1'0210 .N

...

...

x1'02x.N

Así, la expresión buscada es:

Población = 1'02x . N

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1

La función exponencial
Los valores de la población correspondientes a cada uno de los años se obtienen multiplicando por un
factor constante (1’02 en este caso) los valores de la población correspondientes a cada uno de los
años anteriores.

Ejemplo 2: Se sabe que la superficie cubierta por un nenúfar en un lago seduplica cada día,
creciendo gradualmente durante todo el día. Si en el momento de
empezar el estudio el nenúfar ocupa una superficie de 1 m2, ¿qué
superficie ocupará dentro de 10 días?
a) Haz una tabla que exprese este crecimiento
b) Halla la función que relaciona las variables número de días
y superficie ocupada.
c) Representa dicha función.

c) Representación:

a) Tabla de...