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Propiedades de la suma de números complejos
La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:
• Conmutativa
Dados dos números complejos a + b.i y c + d.i se tiene la igualdad:
(a +b.i) + (c + d.i) = (c + d.i) + (a + b.i)
Ejemplo:
(2 - 3 i) + (-3 + i) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2 i
(-3 + i) + (2 - 3 i) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2 i
• Asociativa
Dados tres complejos a+ b.i, c + d.i y e + f.i , se cumple:
[(a + b.i) + (c + d.i)] + (e + f.i) = (a + b.i) + [(c + d.i) + (e + f.i)]
Ejemplo:
(5 + 2 i) + (3 - 4 i)] + (-9 + 8 i) = (8 - 2 i) + (-9 + 8 i) = -1 + 6 i
(5+ 2 i) + [(3 - 4 i) + (-9 + 8 i)] = (5 + 2 i) + (-6 + 4 i) = -1 + 6 i
• Elemento neutro
El elemento neutro es 0 + 0 i ,puesto que
(a + b.i) + (0 + 0 i) = (a + 0) + i (b + 0) = a + b.i
El número 0+ 0 i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».
• Elemento simétrico
El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + b.i es (- a - b.i):
(a + b.i) + (-a - b.i) = 0 + 0 i= 0Ejemplo:
El simétrico de 2 - 3 i es -2 + 3.i pues (2 - 3 i
Propiedades del producto de complejos
• Conmutativa
Dados dos complejos a + b.i y c + d.i , se cumple que:
(a + b.i).(c + d.i) = (c +d.i) (a + b.i)
Ejemplo:
(7 - i).(5 + 2.i) = 35 + 14.i - 5.i -2.i ² = 35 + 9.i - 2.(-1) = 37 + 9.i
(5 + 2.i).(7 - i) = 35 - 5.i + 14.i -2.i ² = 35 + 9.i - 2.(-1) = 37 + 9.i
• Asociativa
Dados loscomplejos a + bi, c + d.i y e + f.i se cumple que:
[(a + b.i) (c + d.i)](e + f.i) = (a + b.i) [(c + d.i) (e + f.i)]
Ejemplo:
[(2 - 3.i).(5 + i)].(4 - 7.i) = (10 + 2.i - 15.i - 3.i ²).(4 - 7.i) = (13 -13.i).(4 - 7.i) = 52 - 91.i - 52.i + 91.i ² =
= - 39 - 143.i
(2 - 3.i).[(5 + i).(4 - 7.i)] = (2 - 3.i).(20 - 35.i + 4.i - 7.i ²) = (2 - 3.i).(27 - 31.i) = 54 - 62.i - 81.i + 93.i ² =
• Elementoneutro
El elemento neutro del producto es 1 + 0 • i = 1, puesto que para cualquier complejo
a + b.i , (a + b.i) (1 + 0. i) = (a + b.i).1 = a + b.i.
El elemento neutro es el uno.
• Distributiva del...