Kmomomo

5

Sistemas de ecuaciones lineales
2×2
5.1

Conceptos y resultados básicos

Recordemos que una ecuación lineal en dos variables x, y es una ecuación de la forma
ax + by = u

(5.1)

en la cual a, b y u son números reales dados.

µ¶
x0
Una solución de una tal ecuación es un par ordenado
de R2 tal que al sustituir
y0
x por x0 y y por y0 , la ecuación se satisface, es decir
ax0+ by0 = u.
µ¶
2
Por ejemplo, una solución de la ecuación x + 3y = 5 es el par
pues 2 + 3 (1) = 5.
1
El conjunto de todas las soluciones de una ecuación del tipo (5.1) se dirá su conjunto
solución. Dos ecuaciones del tipo (5.1) se dirán equivalentes si tienen el mismo conjunto
solución; cuando se multiplica una ecuación por un escalar no nulo se obtiene una ecuación
equivalente.
Comosabemos, si a 6= 0 o b 6= 0, la ecuación (5.1) corresponde a una línea recta, de
manera que en tal caso el conjunto solución de (5.1) es dicha línea recta.
Ejemplo 5.1
El conjunto solución de la ecuación
x + 2y = 4

(5.2)

es la recta¶ que ¶
µ L µ corresponde a esta ecuación, la cual corta a los ejes coordenados en los
0
4
puntos
y
(Figura 5.1).
2
0
143

144

5. Sistemas deecuaciones lineales 2 × 2

Figura 5.1.

Ahora, como ya lo sabemos, dicha recta L puede describirse mediante distintas ecuaciones. A continuación mostramos una manera de pasar de la ecuación (5.2) a una ecuación
vectorial paramétrica para L: de la ecuación (5.2) se obtiene la ecuación equivalente
1
y = 2 − x.
2
Así, si damos a x cualquier valor en R, digamos t, entonces el valorcorrespondiente de y
µ¶
x
es y = 2 − (1/2) t. Por tanto, L consta de los puntos
de R2 tales que
y
x=t
1
y = 2− t
2

µ¶
x
con t ∈ R o, equivalentemente, L consta de los puntos
de R2 de la forma
y
¶
µ
µ¶ µ¶
1
0
x
,
t ∈ R.
+t
=
−1/2
2
y

(5.3)

Análogamente, la ecuación (5.2)es equivalente a la ecuación
x = 4 − 2y.
Así, si damos a y cualquier valor en R, digamos s, entonces elvalor correspondiente ¶ x
µ de
x
es x = 4 − 2s. Por tanto, L también puede describirse como el conjunto de puntos
de
y
R2 tales que
x = 4 − 2s
y=s

µ¶
x
de R2 de la forma
con s ∈ R, o equivalentemente, como el conjunto de los puntos
y
µ¶ µ¶
µ¶
x
4
−2
=
+s
,
s∈R
(5.4)
y
0
1
Las ecuaciones (5.3) y (5.4), las cuales son ecuaciones vectoriales paramétricas para la
rectaL, proporcionan descripciones del conjunto solución de la ecuación (5.2)
¥

145

5.1. Conceptos y resultados básicos

Ejemplo 5.2
a) El conjunto solución de la ecuación
0x + 0y = 0
µ¶
x0
es todo
pues todo punto
de R2 es una solución de dicha ecuación.
y0
b) Si u 6= 0, el conjunto solución de la ecuación
R2 ,

0x + 0y = u
µ¶
x0
es φ (el conjunto vacío), pues ningún par
de R2la satisface.
y0

¥

Consideremos ahora un sistema de dos ecuaciones lineales
ax + by = u
cx + dy = v

(5.5)

(a, b, c, d, u y v son números reales dados).

µ¶
x0
Una solución de tal sistema es un par ordenado
de R2 , el cual es solución de
y0
cada una de las dos ecuaciones del sistema. Por ejemplo, una solución del sistema
x+y =4
2x − y = 5

µ¶
µ¶
3
3
es el par
, pueses solución de cada una de las ecuaciones, ya que 3 + 1 = 4 y
1
1
2 (3) − 1 = 5. Por otra parte, el sistema
x+y =4
2x + 2y = −5

µ¶
x0
carece de soluciones, pues si un par
satisface la primera ecuación, es decir, si x0 + y0 =
y0
4, entonces dicho par no satisface la segunda, pues 2x0 + 2y0 = 2 (x0 + y0 ) = 2 (4) = 8.
El sistema (5.5) se dice soluble o consistente si tiene al menosuna solución; en
caso contrario, el sistema se dice no soluble o inconsistente. El conjunto de todas las
soluciones de un sistema del tipo (5.5) se dirá su conjunto solución.
Ejemplo 5.3
a) El conjunto solución del sistema
0x + 0y = 3
2x − y = 7
es φ, pues la ecuación 0x + 0y = 3 carece de soluciones.
b) El conjunto solución del sistema
0x + 0y = 0
2x − y = 7

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5. Sistemas de...