Korovnumeroe

§ 3. El número e
Desigualdades Cap I
Korovkin
El número e desempeña un papel importante en las matemáticas. Daremos su definición
después de resolver una serie de problemas en los que se aplicasolamente el teorema 2 (ver §
2)
Problema 1. Demostrar que cualquiera que sean los números positivos a , b (a ≠ b) , es
válida la desigualdad
n +1

ab n ≤

a + nb
n +1

Solución. Tenemos
n +1

ab n =

n+1

n


a+b+b+ ... +b
a + nb
a . b .b . . . b =
=
n +1
n +1

que es lo que se quería demostrar ■
Problema 2. Demostrar que a medida que aumenta n , también aumentan las magnitudes

1

xn = 1 +
n


n

n

y

1

zn =  1 −  ,
n


o sea, que

xn < x n + 1

1 

= 1 +

n +1


n+ 1

y

zn < zn + 1

1 

= 1 −

n +1


n +1

.

Solución:
Tomando a = 1 y b = 1 +

n +1

1
en ladesigualdad del problema anterior, encontramos
n

 1
1 + n 1 + 
 1  1
 1
 n  = 1+ n +1 = 1+ 1
1. 1 +  . 1 +  . . .  1 +  <
n +1
n +1
n +1
 n  n
 n

Elevando ambos miembros deesta desigualdad a la potencia (n + 1 ) tendremos
n

1
1 


1 +  < 1 +

n

 n +1
o sea, xn < xn +1 .
La segunda desigualdad se demuestra análogamente ■

n +1

,

 1
Problema 3. Demostrarque yn = 1 + 
 n

n +1

decrece a medida que aumenta n , o sea,

1 

yn > yn +1 = 1 +

 n +1

n+2

Solución. Tenemos

 1
yn =  1 + 
 n

n +1

 n +1
= 

 n 

n +1

=

1
 n 


n +1

1

=

n +1

1 

1 −

 n +1

n +1

=

1
zn +1

(véanse las notaciones del problema 2). Como zn aumenta a medida que aumenta n , resulta
que yn decrece ■

El número e
En los problemas 2 y3 hemos demostrado que
1

 1
 1
x 1 = 1 +  = 2 < x2 =  1 + 
 1
 2
 1
y1 =  1 + 
 1

2

2

= 2, 25 < x3 < ... < xn < ... ,
3

 1
= 4 > y2 =  1 +  = 3,375 > y3 > ... > yn > ...
2

Por otra parte,
n

 1
 1
2 = x1 < xn = 1 +  <  1 + 
 n
 n

n +1

= yn < y1 = 4

Luego, la variable xn satisface dos condiciones:
1) xn crece monótonamente a medida que aumenta n;
2)...