Ksks

Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden
Prof. Raúl Rodríguez A.

Algunas aplicaciones
• Caída de un objeto en un medio fluido, con fricción • Ley de enfriamiento de Newton • Circuitos en serie RL y RC • Fechado con radiocarbono • Crecimiento de una población • Trayectorias ortogonales • Mezclas
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Mecánica
Caída de cuerpos y resistencia del aire
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Objeto que cae
•Un paracaidista se deja caer desde un helicóptero suspendido a gran altura sobre una planicie • Determinar la velocidad del paracaidista, antes de abrir el paracaídas, al cabo de t = 1, 2, 3, 4, 5 segundos • Suponga que la masa del sistema paracaidista – paracaídas es 90 kg, y el coeficiente de fricción es 0.5 kg/s
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Objeto que cae
Identificar fuerzas que actúan Dirección positiva

F2Fuerza debida a la resistencia del aire

F1

Fuerza debida a la atracción gravitatoria
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Objeto que cae: modelo matemático
2ª Ley de Newton del movimiento

F F  ma  a m dv F  dt m La fuerza neta actuando F  F1  F2
sobre el objeto es



dv F1  F2  dt m

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Objeto que cae: modelo matemático

F1  mg F2  k v
De modo que

Peso del objeto Fuerza de fricción con elaire. La constante k es el coeficiente de fricción

dv mg  kv  dt m



dv k g v dt m
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Objeto que cae: Solución analítica
dv mg  kv  dt m
m dv   dt   mg  kv
Variables separables

m ln( mg  kv)  t  C k
Simplificando queda

Aplicando m condiciones C  k ln(mg ) iniciales

 kt mg  v(t )  1 e m     k 

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Problema del objeto que cae: soluciónanalítica
 kt mg  m v(t )  1  e   k 

Suponga que m = 90 kg, k = 0.5 kg/s. Considere g = 9.8 m/s2. Hallar velocidad para t = 1, 2, 3, 4, 5 segundos
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 kt mg  m v(t )  1  e   k 

Problema del objeto que cae: solución analítica
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Objeto que cae: solución numérica Euler

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Ley de Newton
Enfriamiento o calentamiento
www.esak.es/images/Intercambio%20blanco.gif

12Ley empírica de Newton del enfriamiento
• La razón con la que cambia la temperatura (T) de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que la rodea (T0)

dT ~ T  T0  dt

dT  k (T  T0 ) dt
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Ejemplo: Ley de Newton del enfriamiento
• Se saca una pizza del horno. En ese instante su temperatura es 300°F. • Después de 3 minutos su temperaturadescendió a 200°F. • ¿En cuánto tiempo se enfriará hasta la temperatura ambiente de 70°F?

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Ley de Newton del enfriamiento
dT  k (T  T0 ) dt
Separación de variables



T (0)  300 dT  k (T  70) dt T (3)  200

dT  T  70  k  dt  ln(T  70)  kt  C0
C0  ln 230

Condiciones iniciales T(0)=300

Solución particular ln(T  70)  kt  ln 230

Hallar valor de k usandoT(3)=200

ln( 200  70)  k (3)  ln 230 1  13   k  ln   3  23 

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Ley de Newton del enfriamiento
Solución particular

1  13  ln(T  70)  ln  t  ln 230 3  23 
Despejando t

 T  70  1  13  ln    ln   t  230  3  23 
Despejando T
1  13  ln   t 3  23 

T  230 e

 70

 T  70  3 ln    230  t  13  ln    23 

La pizza alcanza latemperatura ambiente de 70°F en un tiempo infinitamente grande

lim T (t )  70
t 
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Temperature T (°F) Time (sec) 300 0 270 0.23922137 250 0.41956007 230 0.62116159 220 0.73162795 200 0.97656431 150 1.80757627 100 3.48639753 90 4.18040563 80 5.36682031 75 6.55323499 74 6.93517521 73 7.42758179 72 8.12158989 71 9.30800457 70.5 10.4944192 70.1 13.2491888 70.01 17.1903731 70.001 21.131557370 Inf

Time (sec) Temperature T (°F) 1 260.166060 2 227.231001 3 200.000000 4 177.485164 5 158.869696 6 143.478261 7 130.752484 8 120.230698 9 111.531191 10 104.338361 20 75.126622 30 70.765390 40 70.114271 50 70.017060 60 70.002547 70 70.000380 80 70.000057 90 70.000008 100 70.000001
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Temperature T (°F)
300.000000

250.000000

200.000000

150.000000

100.000000

50.000000...