Kurt godel completitud e incompletitud

Kurt Gödel y sus dos teoremas: completitud e incompletitud

Kurt Gödel: su vida (1/2)
• • • • • Nació siendo austríaco en 1906 En 1918 pasó a ser checo A los 23 años volvió a ser ciudadanoaustríaco A los 32 años pasó a ser alemán A los 42 pasó a ser estadounidense

Kurt Gödel: su vida (2/2)
• A los 18 años entró a la universidad de Viena • Asistió a una charla de David Hilbert que marcósu carrera (sobre la completitud de la lógica de primer orden) • A los 23 años defendió su tesis doctoral donde presentó su así llamado “Teorema de la completitud”

Contexto
• Los fundamentos delas matemáticas flaqueaban • Paradoja de Russel (conjunto de conjuntos): x є M x M є M M x M

• Paradoja de Burali-Forti
• “Dios creó al número entero y el hombre hizo lo demás”

El métodoaxiomático
• Se definen verdades auto-evidentes: axiomas • Se supone su certeza para ver a qué se llega con ellas

Método axiomático: ejemplo
• El sistema de Peano para definir a N
–0єN – ∀n 0 != n'– n є N => n' є N

– Φ(0) ^ n є N ^ Φ(n) => Φ(n') => ∀z є N | Φ(z) – n = m ^ n → n' ^ m → m' => n' = m'

Logística (o lógica formal)
• • • Se enfoca en reglas de inferencia Formas de razonarválidas, análogas al discurso natural Silogismos

Logística (ejemplo)
• Lógica proposicional
– – Π1, Π2, Π3,..., V, →, ~
• • • Las variables son proposiciones Si A es proposición, también ~A lo esSi A y B son proposiciones, también A v B y A → B lo son

Sistema formal
• Integra axiomas lógicos y matemáticos: no hay distinción entre lógica y matemática. • Símbolos y reglas paracombinarlos, formando cadenas! • Debería representar un aspecto de la realidad • Se lo puede pensar como una gramática formal (recuerden autómatas), que define un lenguaje

Algunos sistemas formales
• Lógicaproposicional • Lógica de primer orden (también llamada “Cálculo de predicados de primer orden”)

Teorema de la completitud
• • • Formulado en la tesis doctoral de Gödel, a sus 23 años Lo...