Kurt Godel

Historia y Cultura: Centenario Kurt Gödel

KURT GÖDEL "Revolucionador de la metamatemática"
Los siguientes artículos explicando la aportación científica de Gödel los realizó, pocos días después de la muerte de Gödel,
en 1978, el profesor Fernández-Brida para el periódico EL PAÍS.

Kart Gödel con A. Einstein en Princeton, 1950

Por el Dr. José Fernández-Prida*
Extracto de EL PAIS, 17 Febrero de1978

Los Comienzos de la lógica moderna
Si bien los primeros intentos de desarrollar una lógica simbólica se
remontan a Leibnitz, que concibió la idea de construir un álgebra
universal en la que fueran demostrables todas las proposiciones
matemáticas verdaderas -idea que habla pasado ya por la mente de
Llul en pleno siglo XIII-, fue sin embargo Gottlob Frege, profesor de
la Universidad de Jena,quien alrededor de 1880 sentó las bases en
que habrían de apoyarse todas las investigaciones posteriores en el
campo de la lógica formal y los fundamentos de la matemática.
Frege fue quien desarrolló por primera vez un lenguaje formalbidimensional, por cierto- en el que pueden formalizarse todas las
proposiciones matemáticas, residiendo la clave del éxito en la
introducción de los símbolos decuantificación existencial y
universal, el "para todo" y el "existe del lenguaje matemático.
Para este lenguaje
formal definió Frege un
sistema de reglas
lógicas que permitía
reducir la actividad del
matemático a un
Leibniz
complejo juego de
símbolos consistente en derivar unas expresiones (teoremas) a
partir de otras iniciales (axiomas), utilizando exclusivamente las
reglas del sistema.
Tras eldesarrollo y
simplificación de
los sistemas
formales, en los
que tuvieron
singuIar relevancia
las investigaciones
de Giuseppe
Peano, los
matemáticos
Frege
ingleses
Whitehead y Russell comenzaron la ingente tarea de
reconstruir una parte considerable de. la matemática en un

sistema formal, labor que en parte llevaron a cabo en los
Principia mathematica, obra ciclópea que fue apareciendo
entre 1910 y1913.
El método logicista
El nuevo método logicista planteaba, sin embargo,
nuevos problemas, tres de los cuales presentaban
singular relevancia. El primero de ellos hacia referencia
a la consistencia y se enfrentaba con el interrogante de
si el sistema formal sería o no contradictorio, como por
cierto había resultado serlo el desarrollado por Frege.
Para no tropezar con una cadena sin fin deproblemas,
la demostración de la consistencia deberla realizarse
con métodos finitistas.
El segundo problema se enfrentaba con la
axiomatizabilidad de las teorías matemáticas. ¿Existirla
para toda teoría un conjunto finito o, al menos,
Bentrand Russell
recursivamente definible de axiomas a partir de los
cuales fuesen formalmente derivables todos los
teoremas de la teoría en cuestión? ¿Existiría, porejemplo, un tal conjunto de proposiciones
aritméticas, a partir de las cuales pudiesen ser obtenidas todas las sentencias válidas de la
teoría de números mediante la aplicación reiterada de unas determinadas reglas lógicas de
inferencia?
El tercer problema hacía referencia a la decidibilidad del
sistema -e "Entscheidungsproblem"- y consistía en
encontrar, caso que fuese posible, un procedimientoefectivo -un algoritmo en su sentido más amplio- que
permitiese decidir en un número finito de pasos si una
expresión era o no formalmente derivable a partir de un
conjunto de axiomas.
La
resolución
de estos
tres
problemas
constituyó
el núcleo
del
famoso
programa
propuesto
David Hilbert
por David
Hilbert a
la Academia de Matemáticas de Hamburgo en
1927. Algunos resultados obtenidos en 1915 por
el alemánLeopold Löwenheim, extendidos por el
noruego Thoraf Skolem hacia 1920 -desarrollo
de un procedimiento de decisión mediante un
método de eliminación de cuantificadores-,
Kurt Gödel en Princeton, 1969
parecían indicar la viabilidad del programa de
Hilbert, aun cuando no sea difícil extraer
resultados negativos relativos a ciertos sistemas formales a partir del más famoso de los
teoremas de...