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UNA LINEA RECTA

Analíticamente, es una ecuación lineal o de primer grado en dos variables. Recíprocamente, la representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos variables es una recta.

Una recta queda determinada completamente si se conocen dos condiciones, por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular), etc.La pendiente de una recta corresponde al cambio en Y dividido el cambio en X la cual corresponde a la ecuación: m = \left( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \right).

Cuando la recta se inclina hacia arriba de izquierda a derecha, se dice que esta recta tiene pendiente positiva.
Cuando la recta se inclina hacia abajo de izquierda a derecha , se dice que esta recta tiene pendiente negativa.Cuando la recta es horizontal , la pendiente de la recta es 0.
Cuando la recta es vertical, la pendiente de la recta no esta definida.


Características de la Recta

La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.
La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría euclidiana.
La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de laintersección de dos planos.

Ecuaciones de la Recta

Tomados dos puntos de una recta, la pendiente m es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación: m = \left( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \right)
Ecuación General de la Recta

Ax + By + C = 0
Ecuación de la Recta (vertical)

x=a
Ecuación de la Recta (horizontal)

y=b
Ecuación de la Recta (punto-pendiente)

(y -y_{o})=m(x-x_{o})
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente.
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es latangente de la recta con el eje de abscisas X.

Ejemplo
Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto A (4, -8) y que tiene una pendiente de 3/2 al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:
y - y_{1})= m(x -x_{1})
y - (-8) = 3/2(x - 4)
2(y + 8) = 3(x - 4)
2y + 16 = 3x -12
2y - 3x + 16 = -12
2y - 3x + 16 + 12 = 0
2y - 3x + 28 = 0

De esta forma hallamos laecuación general de la recta la cual es de la forma:
Ax + By + C = 0
Ecuación de la Recta (pendiente-intersección)

Si se conoce m (pendiente) , y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación punto pendiente de la recta, (y - y_{o})=m(x-x_{o}):

(y - b) = m(x - 0)
y - b = mx
y = mx + b
Esta es la ecuación de la rectapendiente-intersección o pendiente intercepto.
Se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.
Solución para problemas en que la Recta pasa por un punto
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Determinar las rectas del plano que pasan por el punto (x0,y0).

La ecuación de la rectaha de ser, como ya se sabe:

y = m x + b \,

Y ha de pasar por el punto (x0,y0), luego tendrá que cumplirse:

y_0 = m x_0 + b \,

Despejando b, tenemos esta ecuación:

b= y_0 - m x_0 \,

Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:

y = m x + (y_0 - m x_0) \,

Ordenando términos:

y = m (x- x_0) + y_0 \,

Esta ecuación define un haz de rectas en el plano quepasa por el punto (x0,y0), el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz, m puede tomar un valor real cualesquiera.


Distancia entre puntos

\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}


- Esta ecuación parte de tener dos puntos cualesquiera en el plano, llamándoles (x1, y1) y (x2, y2) la cual es una aplicación del teorema de Pitágoras siendo la...