Kyosaki

Universidad San Ignacio de Loyola TALLER PRACTICA CALIFICADA N° 4 ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 2010 – 01

EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
1. Halle los extremos relativos (si existen) de las siguientes funciones: a) f ( x, y)  2 x  y  x 2  xy  y 2 e) f ( x, y )  3 x2 y  y 3  3 x2  3 y 2  2 b) c) d)

f ( x, y)  x 3  2 xy  x  2 y  8 f ( x, y)  x 3  y 3  9 x 2  3 y 2  15x  9 y f ( x, y) e x y ( x 2  2 y 2 )

f)

g)

f ( x, y )  x2  y 2  x2 y  4 f ( x, y )  2x3  xy 2  5 x2  y 2

2. Para que valores de la constante “k” está garantizado que la siguiente función 2 2 f ( x, y)  x  kxy  y en el punto (0,0) tenga a) Un punto de silla b) Un mínimo local MÁXIMOS Y MÍNIMOS 3. Un alambre de 60cm de largo se va a partir en dos pedazos. Uno de los pedazos tiene longitud“x” y el otro tiene longitud “y”. Uno de los pedazos va a doblarse formando una circunferencia y el otro va a doblarse formando un triángulo equilátero. Diga ¿cuánto mide el pedazo destinado para construir el triángulo y cuánto mide el pedazo destinado a formar la circunferencia, de tal manera que la suma de las áreas del círculo y del triángulo que se formaron sea máxima? (No descarte la posibilidadde que alguno de esos pedazos tenga longitud cero). ¿Cuáles serían las longitudes de los pedazos si se quisiera que la suma de las áreas del círculo y del triángulo sea mínima? 4. En una bodega el dueño vende uno de sus productos en cajas rectangulares y, por sus años de experiencia en el negocio, ha notado que la mayoría de sus clientes compran 10cm 3 de tal producto, así que decide empacarlosen cajas de tal capacidad. Además requiere que el material empleado en la elaboración de la caja sea el menor posible, ¿Cuáles son las dimensiones de la caja que usted recomendaría al bodeguero para que satisfaga sus necesidades? 5. Una cierta tienda minorista decide impulsar la venta de una marca local de gaseosa, y para ello se propone poner avisos publicitarios en una televisora local, cuyatarifa para publicidad es de $600 por minuto de transmisión. El asesor de ventas de la tienda determina que si “x” es el número de avisos diarios en la televisión e “y” es el número de minutos que dura cada aviso, entonces el número de ventas por día será de V  2xy 2  x 2  40 unidades. También sugiere que el precio de venta de cada gaseosa sea de 50 centavos de dólar. Si los honorarios del asesorascienden a $30.00 diarios y la televisora impone un límite de 2 horas de transmisión para avisos en un día ¿cuántos avisos diarios y cuánto tiempo debe durar cada aviso para obtener la mayor utilidad posible? 6. Para fabricar f(x, y) unidades de cierto producto se requieren “x” unidades de capital con “y” unidades de mano de obra. La función de producción de Cobb-Douglas se define comof(x,y)=kxayb, donde k es una constante y a y b son números positivos tales que a+b=1. f ( x,y )  x1/ 5 y 4 / 5 , que cada unidad de capital tiene un costo de 10 Supongamos que dólares y cada unidad de mano de obra tiene un costo de 4 dólares. Si se sabe que la producción debe ser de 10000 unidades, ¿cuántas unidades de capital y de mano de obra deben emplearse para lograr disminuir el gasto total? 7. Parafabricar f(x, y) unidades de cierto producto se requieren “x” unidades de capital con “y” unidades de mano de obra. La función de producción de Cobb-Douglas se define como f(x,y)=kxayb, donde k es una constante y a y b son números positivos tales que a+b=1.

Supongamos que f ( x,y )  20x 2 / 3 3 y , que cada unidad de capital tiene un costo de 10 dólares y cada unidad de mano de obra tiene uncosto de 4 dólares. Si se sabe que la inversión será de 25000 dólares, ¿cuál será el número máximo de unidades que se podrán producir? 8. Hallar el punto P=(x,y,z) que pertenece a la esfera de ecuación x 2  y 2  z 2  32 , tal que el cuadrado de la distancia al punto (1,1,0) sea la menor posible. Nota: La distancia entre dos puntos P=(x1, y1, z1) y Q=(x2, y2, z2) está dada por la fórmula:...