Límite de una función

-Límite de una función.
La noción de límite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función


Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráficade f cerca de x=1, usamos dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x).
X se acerca al 1 por la izquierda  x se acerca al 1 por la derecha


x
0,9
0,99
0,999
1
1,001
1,01
1,1
f ( x )
2,71
2,9701
2,997001
¿?
3,003001
3,0301
3,31
f (x) se acerca al 3  f (x) se acerca al 3




La figura 1 es lagráfica de la función y como podemos observar, en dicha gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no está definida en el número 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función    menos el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f, factorizando el numerador y simplificando. La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal:Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el límite f(x) cuando x tiende a a es L, y escribimos 


-Definición de límite de una función.
Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como ,si para cualquier, no importa que tan pequeña sea, existe una  tal que si  entonces 

Esta definición indica que los valores de f(x) se aproximan al límite L conforme x se aproxima al número a, si el valor absoluto de la diferencia  puede hacerse tan pequeña como de desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.
En la definición no se menciona nada acerca del valor de f(x)cuando x = a; recordemos que la función no necesita estar definida en a para que  exista.

Ejemplos 1.
1) Utilicemos la definición para demostrar que 
Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la definición para hacer la demostración.
Se debe demostrar que para cualquier  existe una tal que
si  entonces  (A)
si  entonces 
si  entonces 
si  entonces Entonces, si tomamos  se cumple la proposición (A). Esto demuestra que.




Teorema 1. Límite de una función lineal.
Sea  donde m y b son dos números reales cualesquiera y, entonces

Ejemplo 2.


Teorema 2. Límite de una función constante.
Si c es una constante (un número real cualquiera), entonces

Ejemplo 3.


Teorema 3. Límite de una función identidad.
Sea , entonces

Ejemplo 4.


Teorema4. Límite de la suma y de la diferencia de funciones.
Si  y , entonces


Ejemplo 5.
Sean,  y entonces,  y




Teorema 5. Límite de la suma y de diferencia de n funciones.
Si entonces: 



Teorema 6. Límite del producto de dos funciones.
Si  y , entonces


Ejemplo 6.
Sean,  y entonces,



Teorema 7. Límite del producto de n funciones.
Si entonces



Teorema 8. Límite de la n-ésima potencia de una función.Si  y n es cualquier número entero positivo, entonces

Ejemplo 7.
Sea,  entonces, 


Teorema 9. Límite del cociente de dos funciones.
Si  y , entonces




Ejemplo 8.
Sean,  y entonces, 




Teorema 10. Límite de la raíz n-ésima de una función.
Si n es un número entero positivo y , entonces
 con la restricción que si n es par, L > 0.
Ejemplo 9.
Sea,  entonces 


Teorema 12. Límite del logaritmo de unafunción.
Sean: b un número real positivo y distinto de 1, y entonces

Ejemplo 10.
Calcule:  aplicando el teorema 2.12.
Apliquemos el teorema exigido:

Sin aplicar el teorema:

Teorema 11. Unicidad del límite de una función.
Si  y  entonces, 
Este teorema asegura que si el límite de una función existe éste es único.

Teorema 12.
El  existe y es igual a L, si y sólo si,  y  existen y...