Límites y Continuidad

Límites y Continuidad 
 
Sucesiones convergentes en un espacio métrico  
 
Definición:  ​
Una  sucesión  de  puntos  {x​
} de un espacio métrico (S,d) es convergente sí existe un 
n​
punto p de S que satisfaga la siguiente propiedad:  
 
 Para todo ε >0 existe un entero N tal que: 
 
d(x​
,p) < ε  siempre que n   N 
n​
 
Se  dice  que  {x​
}  converge  hacia  p,  y  escribimos  x​
➝  p.  Sí  no existe  tal  número  p,  entonces 
n​
n​
diremos que la sucesión {x​
} es divergente. 
n​
 
Está definición de convergencia implica que  
 
          x​
➝ p sí y solo sí, d(x​
,p) ➝ 0. 
n​
n​
 
La convergencia de la sucesión {d(x​
,p)} hacia 0 se realiza en el espacio euclídeo ​
R1​
​
. 
n​
 
Teorema:  ​
En  un  espacio  métrico  (S,d),  suponemos  que  x​
➝  p  y  que  T  =  {x​
,  x​
,....} es  el 
n​
1​
2​
recorrido de {x​
}. Entonces: 
n​
a. T está acotado. 
b. p es un punto de adherencia de T. 
 
Teorema:  ​
Dado  un  espacio  métrico  (S,d)  y  un  subconjunto  T,  sí  es un punto de S adherente de 
T, entonces existe una sucesión {x​
} de puntos de T que convergen hacia p.  
n​
 

Sucesiones de Cauchy 
Sí  una  sucesión  {x​} converge hacia el límite p, sus términos avanzados deben aproximarse a p y 
n​
por lo tanto aproximarse entre sí.  
 
Teorema:  ​
Supongamos  que  {x​
}  converge  en  un  espacio  métrico  (S,d).  Entonces para cada ε>0 
n​
existe un entero N tal que: 
 
d(x​
,x​
) < ε siempre que n   N y m   N. 
n​
m​
 

Definición:  ​
Una  sucesión  {x​
}  de  un espacio métrico se llama sucesión de Cauchy sí satisface la 
n​siguiente condición: (llamada condición de Cauchy) 
 
Para cada ε > 0 existe un entero N tal que: 
 
d(x​
,x​
) < ε siempre que n   N y m   N. 
n​
m​
Por  teorema,  toda  sucesión  convergente  es  una sucesión de Cauchy. El recíproco, por lo  general, 
no es cierto en cualquier espacio métrico.  
 
Teorema: ​
En el espacio euclídeo ​
Rk​
​
 ​
toda sucesión de Cauchy es convergente.  
 

Espacios métricos completos 
 
Definición:  ​
Un  espacio métrico  (S,d)   se  llama  completo  sí  toda  sucesión  de  Cauchy  de  S 
converge  en  S.  Un  subconjunto  T  de  S  se   llama  completo  sí  el  subespacio  métrico  (T,d)  es 
completo.  
 
Teorema:​
 En todo espacio métrico (S,d), cada subconjunto compacto T es completo.  
 

Límite de una funcion  
Definición: ​
Sí p es un punto de acumulacion de A y sí b ∈ T, la notacion:  
 
lim​f(x) = b, 
x­p​
significa lo siguiente:  
Para cada ε > 0 existe un ઠ > 0 tal que: 
 
d​
(f(x),b) < ε   siempre que x ∈ A, x ≠ p, y d​
(x,p) < ઠ . 
T​
S​
 
La  simbología  dada,  se   lee “el límite de f(x) cuando x tiende a p, es b”. Está definición formaliza 
la  idea  intuitiva  de  que  f(x)  puede  hacerse  tan  próximo  a  b  como se desee siempre que se elija x 
suficientemente  próximo   a  p. Se  requiere  que  p  sea  punto  de  acumulacion  de  A  para  que  tenga 
sentido considerar puntos x de A suficientemente proximos a p con x ≠ p.  
 
Teorema: ​
Supongamos que p es un punto de acumulacion de A y que b ∈ T. Entonces:  
 
 
lim​
f(x) = b   sí y solo si,  lim​
f(x​
) = b,  
x­p​
n­∞​
n​
 
para toda sucesión {x​
} de puntos de A­{p} que sea convergente hacia p.  
n​

 Funciones continuas 
 
Definición:  Sean  (S,d​
)  y  (T,d​
)  espacios  métricos  y  sea  f:  S➝T  una  funcion  de  S  en  T.  La 
S​
T​
función f se llama continua en un punto p de s sí para cada ε > 0 existe un ઠ > 0 tal que: 
 
d​
(f(x), f(p)) < ε   siempre que d​
(x, p) < ઠ. 
T​
S​
 
Sí  f  es  continua  en  todos  los  puntos  del  subconjunto  A  de  S,  se  dice   que  f  es  continua  en  A. Ademas, sí p es un punto de acumulacion de S, la definicion de continuidad implica que  
 
lim​
f(x) = f(p) 
x­p​
 
Teorema:  ​
Sea  f:   S➝T  una  función  de  un  espacio métrico (S, d​
) en otro espacio métrico (T,d​
), 
S​
T​
y  supongamos  que  p  ∈  S.  Entonces  f  es continua en  p,  sí y solo sí,  para cada sucesión {x​
} de S 
n​
convergente en p, la sucesión f({x​...