LÍMITE DE SUCESIONES Y FUNCIONES matemática

MATEMATICA II-

LÍMITE DE SUCESIONES Y FUNCIONES
Límite importante
Determinación límite de sucesiones de la forma


Criterio mayor potencia:

3n 2 2  7n 2  1 2
 3n 2  7n  1 
n
n
n 
Ejemplo: lím 
  lím
n 
n  5n 2
2
4n 2  9 2
 5n  4n  9 

n2
n
n
3  7  1 2 3  7  1 2 3  0  0 3
n

n 
 
 lím

n 
4 9 2
4 9 2
5
5
500
5n

n


Determinación límite de sucesiones de la forma

 n 2  n  1 n3  1 

Ejemplo: lím 
     en este caso procedemos primero a realizar las
n 

n
n2  1 
operaciones de dentro del paréntesis antes de volver a calcular el límite, así

n2  n  1



n
lím

n 

n 3  1
n3  n



n3  1
n2 1


n 4  n3  n 2  n 2  n  1  n 4  n

1  0
1 0

n3  n


1



n 3  1
n 3  n y el límite ahora será

 1

1

Criterio de multiplicar por el conjugado

Ejemplo: lím

n 





n 2  1  n     , en este caso procederemos como si hiciéramos una

racionalización a la inversa, multiplicamos y dividimos todo por el “conjugado” de la expresión, así


pasaríamos al nuevo límite lím



n2 1 n 

n 

n2 1  n

  lím n
n 

n2 1  n

2

 1  n2

n2 1  n



1


Ejercicios: Calcula los siguientes límites de sucesiones:
 3n 2  2n  3 6n  9 

a) lím 

n 
 2n  1
4 
 2n 2  4n  3

c) lím 
n 



3n  2

 5n 2  6n  2

e) lím 
n 



3n  4

 n 3  2n
3n 2  4n  1 

b) lím 

n 
 n 2  2n  1n 1




4n 2  5 

6n  1 

d) lím 
n 

 3n  11 3n 2  5 


8n  2 
 8



5n  4 

3 

f) lím 
n 

 2  3n  4n 2


5n  3



6  4n 

5 

0

MATEMATICA II- Docente: Carolina Uribe Pilgún

 9n 2  4  3n 
g) lím 

n  

2n  1



 n  n2  4 
h) lím 

n  

n 1



Determinación delímites de funciones a partir de una gráfica
Caso 1: Supongamos que se nos pide esbozar la gráfica de la función

Esta función está definida para cualquier valor real de x, excepto cuando
x = 1; pero para tener una idea de lo que sucede con la función en torno a este valor, nos
aproximaremos al valor 1 por ambos lados de la recta real (por la izquierda y por la derecha)
pero sin llegar a ser1.
0

0,5

0,9

0,99

0,999

2

1,5

1,1

1,01

1,001

Se ve claramente en las tablas, que a medida que la variable x se aproxima a 1 por ambos lados,
la función fue arrojando valores más cercanos a 3. Lo que se anota como:

El límite de la función cuando x tiende a 1, tanto por la izquierda como por la derecha, es 3. Por
lo que se dice que el límite de la función existe.MATEMATICA II- Docente: Carolina Uribe Pilgún

Determinación de límites infinitos a partir de una gráfica:
Considere la función f(x) =

,La función no está definida cuando x= 1,por lo que analizaremos

valores a la izquierda y derecha de 1
y
3/2 2
2
1
5/2 2/3
3
1/2

y
½
-2
0
-1
-1/2 -2/3
-1
-1/2
-2
-1/3

A través de la gráfica se observa que los valores a laizquierda de 1 tienden a -∞, mientras que
los valores a la derecha de 1 tienden a +∞.
Por tanto como los límites laterales son diferentes el límite de la función no existe.
f(x) =

,

, x = 1 es una asíntota de la función.

Asíntotas verticales:
Generalmente, cualquier límite de los tipos:

MATEMATICA II- Docente: Carolina Uribe Pilgún

, es un límite infinito. Si se cumple alguna de lascondiciones anteriores,
entonces la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de f.

Ejercicios:
Determine el límite de las siguientes funciones a partir de la gráfica.
1. f(x) =
2. f(x) =
3. f(x) =
4. f(x) =

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Determinación de límite de funciones a través de algún método algebraico:
 Método de factorización: Uso de productos...