Límite y Continuidad de Funciones

(cabe destacar que no es un artículo de mi autoría, yo solo proporciono información encontrada)

Introducci´n
o
Definici´n Informal de L´
o
ımite.
Definici´n Formal de L´
o
ımite.
L´
ımites Unilaterales.

L´
ımites y Continuidad.
Unidad III

Prof.Hendrik Sulbaran.
http://red-matematica.blogspot.com
hendrickjose17@hotmail.com

Febrero

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Definici´n Informal de L´
o
ımite.
Definici´n Formal de L´
o
ımite.
L´
ımites Unilaterales.

L´
ımites.

En el c´lculo matem´tico y sus aplicaciones se analiza la forma en que
a
a
var´ ciertas cantidades y si ´stas tienden a valores espec´
ıan
e
ıficos bajo
ciertas condiciones. Estascantidades a menudo involucran los valores de
algunas funciones. Para hacer este an´lisis se utilizan los conceptos de
a
derivada o de integral definida.
La definici´n de derivada depende de la noci´n de l´
o
o
ımite de una funci´n.
o
Comenzaremos con una presentaci´n informal de la definici´n de l´
o
o
ımite y
en la secci´n posterior la definici´n formal.
o
o

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Definici´n Informal de L´
o
ımite.
Definici´n Formal de L´
o
ımite.
L´
ımites Unilaterales.

Soluci´n
o

Sea a un n´mero real contenido en un intervalo abierto y sea f una
u
funci´n definida en todo el intervalo, excepto posiblemente en a mismo.
o
A veces es de inter´s conocer losvalores f (x) de la funci´n para x muy
e
o
cercano a a, pero no necesariamente igual a a. De hecho, en muchos
casos, el n´mero a no se encuentra en el dominio de f , y por lo tanto
u
f (a) no est´ definido. Por lo tanto es natural preguntarse: ¿ Cuando x se
a
acerca cada vez m´s a a (pero x = a), acaso f (x) se acerca tambi´n a
a
e
un n´mero L?. Si al repuesta es afirmativa, se dice que f(x) tiende a L
u
cuando x tiende a a, o que el l´
ımite de f (x) cuando x tiende a a es L, y
se escribe
l´ f (x) = L.
ım

x→a

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Definici´n Informal de L´
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Definici´n Formal de L´
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Soluci´n
o

Definici´nInformal de L´
o
ımite.

Definici´n
o
Sea a un n´mero real contenido en un intervalo abierto y sea f una
u
funci´n definida en todo el intervalo, excepto posiblemente en a, y L un
o
n´mero real. Entonces
u
l´ f (x) = L
ım

x→a

significa que f (x) puede acercarse arbitrariamente a L si x se elige
suficientemente cercano a a (pero x = a).

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Soluci´n
o

Ejemplo
x−9
.
Sea f (x) = √
x−3
1
Calcular el l´ f (x).
ım
x→9

2

Trazar la gr´fica de f y comprobar gr´ficamente el l´
a
a
ımite en 1.

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Soluci´n
o

Soluci´n
o
(1) N´tese que el n´mero 9 no est´ en el dominio de f . Para evaluar el
o
u
a
l´
ımite cambiamos la forma de f (x) racionalizando el denominador como
sigue:
l´ f (x)
ım

x→9x−9
l´ √
ım
x−3
√
x−9
x+3
= l´
ım √
·√
x→9
x−3
x+3
√
(x − 9)( x + 3)
= l´
ım
x→9
(x − 9)
√
√
= l´ ( x + 3) = 9 + 3 = 6
ım
=

x→9

x→9

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