Límites De Una Función

IDEA INTUITIVA DE LIMITE


Para asentar una idea intuitiva de límite estudiaremos la función f(x)=x2 en una vecindad de 2 (en torno a 2) cuya gráfica se muestra en la figura 5.2. Es claro quecuando x se acerca a 2, entonces f(x) se acerca a 4, lo anterior se puede comprobar fácilmente con una tabla de valores





















Luego, cuando x se aproxima a 2 ( tantocomo uno quiera) ya sea por izquierda ( x < 2) o por derecha (x > 2), los valores de f(x) = x2 se acercan cada vez más a 4 (figura 5.3).

La idea anterior puede expresarse matemáticamente de lasiguiente forma:

[pic]

[pic]

Decir que [pic] equivale a decir que si x está suficientemente próximo a 2 entonces x2 está tan próximo como se quiera a 4, o dicho de otra forma cuando [pic](siendodistinto de cero), entonces [pic]. Así cuando,
[pic], como lo puedes comprobar fácilmente con las tablas anteriores

Esto significa que la gráfica de f(x) = x2 para puntos próximos a x = 2 cabeen un rectángulo tan pequeño como queramos (ver figura 5.4)





LIMITE DE UNA FUNCION EN UN PUNTO X0

1. Se dice que una función f( x ) converge hacia L en x0, o que su límite en xo es L ,es decir [pic], cuando a valores muy próximos a xo corresponden valores muy próximos a L


2. Una función f( x ) converge hacia L en x0, o tiene su límite L en xo cuando para cualquier ( > 0,existe un ( >0 tal que si se cumple [pic], entonces se tiene que [pic]




EJEMPLOS: Calcule los siguientes limites

a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]CASOS CRITICOS AL CALCULAR LIMITE EN UN PUNTO XO

Generalmente cuando se calcula límites puntuales nunca se obtiene valores inmediatos como en los ejemplos anteriores, sino que muy por el contrario loque siempre ocurre son los siguientes casos que se llaman FORMAS INDETERMINADAS. Los casos son:



CASO I: [pic]


EJEMPLOS:

a) [pic] (ver figura 5.5)


b) [pic]


CASO II: [pic]...