Límites matematicos

Es un valor de una función evaluada en un punto muy cercano a un valor, pero sin llegar a él, es decir, en el límite. Se suele hacer cuando la función no está definida para una parte del dominio. Por ejemplo, el límite de 1/x cuando x tiende a infinito, es 0.

No es posible demostrar que 1 dividido infinito sea 0, pero se puede establecer que en el valor límite, esta operación tiende a ser 0.Otro ejemplo: el límite de sen(x)/x cuando x tiende a 0.

Si simplemente evaluáramos, no quedaría sen(0)/0, lo que es 0/0, pero la división entre 0 no está definida. Para sortear esto, podemos utilizar un límite.

Se dice que el límite de sen(x)/x cuando x tiende a 0 es cero porque, aunque no podemos evaluar para 0, podemos hacerlo para valores extremadamente cercanos, y nos daremos cuentaque mientras más se acercan a 0, la solución de la operación se acerca más a 1. Por eso,

lim(sen(x)/x) = 1
x-->0

Límites y Continuidad
1. Límite de una función en un punto. Propiedades.
2. Límites en el infinito. Asíntotas de una curva.
3. Cálculo de límites.
4. Función continua en un punto y en un intervalo.
5. Operaciones con funciones continuas.
6.Discontinuidades.
7. El Teorema del valor medio de Bolzano y el teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass.
Objetivos Mínimos
* Conocer los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límite en el ±.
* Saber calcular límites de cocientes de polinomios.
* Saber determinar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de unafunción.
* Conocer el concepto de límite lateral y su relación con el de límite.
* Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos principales de indeterminación que pueden darse y las técnicas para resolverlas.
* Conocer el concepto de continuidad de una función en un punto, incluida la continuidad lateral, y, como consecuencias elementales, la conservación delsigno y la acotación de la función en un entorno del punto.
* Saber donde son continuas las funciones elementales.
* Conocer los distintos comportamientos de discontinuidad que pueden aparecer y saber reconocerlos usando los límites laterales.
* Saber determinar la continuidad de las funciones definidas a trozos.
* Conocer el concepto de continuidad de una función en un intervaloy qué significa eso en los extremos del intervalo.
* Conocer el teorema del valor intermedio de Bolzano y su aplicación a la localización de ceros de una función y al dibujo de gráficas de funciones que se cortan.
* Conocer el teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass y, como consecuencia, que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado está acotada yalcanza sus extremos.

1. Límite de una función en un punto. Propiedades.
A) LIMITE EN UN PUNTO.
A1) Límite finito:
Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por
(Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio , podemos encontrar un entorno de a de radio , que depende de , de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a,)exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l,).)
A2) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).
B) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.
B1) siempre que no aparezca la indeterminación .
B2) con .
B3) siempre y cuando no aparezca la indeterminación .
B4) siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones e .B5) con , siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.
B6) siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos .
C) LIMITES LATERALES.
C1) Límite por la izquierda:
C2) Límite por la derecha:
TEOREMA: Existe el límite si y solo si existen los limites laterales (por la derecha y por la izquierda) y ambos...