límites y continuidad- Introducción al cálculo

Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
´
Instituto de Matematicas
´
´
Curso Introduccion al calculo
Taller 4 - L´
ımites y continuidad
´
Ultima actualizaci´n: 29 de julio de 2012
o

Nota: Los ejercicios a continuaci´n propuestos cubren el tema de l´
o
ımites y continuidad. El taller
est´ propuesto como preparaci´n a los temas a evaluar en el cuartoparcial.
a
o
[Problemas (1)-(20)] A continuaci´n aparecen las gr´ficas de tres funciones distintas f, g y h. Determine
o
a
(si existen) los l´
ımites indicados.
1. l´ f (x)
ım

5. l´ g(x)
ım

2. l´ f (x)
ım

6. l´ + g(x)
ım

x→1−

x→0

x→3−

x→1

3. l´ + f (x)
ım

7. l´ g(x)
ım

4. l´ f (x)
ım

8. l´ g(x)
ım

x→3

x→1

x→3

x→5

9.
10.

l´
ım h(x)15. l´ h(x)
ım

l´
ım h(x)

16. h(2)

x→−2−

x→2

x→−2+

11. l´ h(x)
ım

17. l´ − h(x)
ım

12. h(−2)

18. l´ h(x)
ım

13. l´ − h(x)
ım

19. h(0)

14. l´ + h(x)
ım

20. l´ h(x)
ım

x→4

x→−2

x→4+

x→2

x→2

x→0

[Problemas (21)-(26)] Para la funci´n g definida a continuaci´n, determina (si existen) cada una de los
o
o
l´
ımites indicados.
21. l´ −g(x)
ım

24. l´ − g(x)
ım

22. l´ g(x)
ım

25. l´ g(x)
ım

23. l´ g(x)
ım

26. l´ g(x)
ım

t→1


5x − 1
√
g(x) =
3x + 1


6

si x < 1,
si 1 ≤ x ≤ 5,
si x < 5.

t→5

x→1+

x→5+

x→1

x→5

[Problemas (27)-(31)] Utiliza una calculadora para determinar el l´
ımite indicado.
sen x
x

29. l´
ım

1 − cos x
x→0
2x

30. l´
ım

27. l´
ımx→0

28. l´
ım

(sen x − x)2
x→0
x2

y2 − 1
y→1 sen(y − 1)

[Problemas (31)-(34)] Llena los espacios en blanco.

(h − π/4)2
h→0 (tan h − 1)2

31. l´
ım

2

Grupo de Semilleros de Matem´ticas - Sem´tica, Universidad de Antioquia
a
a

31. Si l´ f (x) = 3, entonces l´ x→4 x2 + 4 f (x) =
ım
ım
x→4

32. Si l´ g(x) = −1, entonces l´ x→1
ım
ım
x→1

8 + g(x)2 =

33. Sil´ f (x) = 2 y l´ g(x) = −4, entonces l´ x→x0
ım
ım
ım
x→x0

x→x0

f 2 (x)+g(x)
g(x)

=

ım
ım
34. Si l´ f (x) = l´ g(x) = L, entonces l´ x→x0 f (x) [g(x) − L] =
ım
x→x0

x→x0

[Problemas (35)-(43)] Utiliza las propiedades b´sicas de l´
a
ımites para evaluar los l´
ımites indicados en
cada caso.
x3 − 1
x→0 x + 1

43. l´
ım

39. l´
ım

x→4

36. l´ 4x3 − 1
ım
x→2x→−1

40. l´
ım

37. l´ [(x − 7)(2x + 5)]
ım
x→1

2 − x3 (3x6 + 1)2

38. l´ √
ım

42. l´
ım

x2 − 2x + 1
x→2
3−x

35. l´ (3x + 2)
ım

x→ 3

41. l´ x3 − 3x − 17
ım

t→3

(3x + 1)2 (3x − 1)
3x2 − 6
t2 − 3t + 16
t−2

1/4

100

x→3

[Problemas (44)-(55)] Realice las operaciones algebraicas necesarias para determinar (si existen) los
l´
ımites indicados.x2 − 1
x→1 x − 1

48. l´
ım

x2 + x − 6
x→−3
x+3

49.

4x3 − 15x2 − 31x + 30
x→5
x−5

44. l´
ım

45. l´
ım

l´ 1
ım

x→− 3

2

6x − x − 1
2x − 1

50. l´
ım

x3 + 2x2 − 5x − 6
x→−1
x+1

46.

3x2 − 6xy − 2y + x
3x2 + 4x + 1

51. l´
ım

l´ 1
ım

x→− 2

(x − 3)(x2 + x − 2)
x→1
x2 − 3x + 2

47. l´
ım

x3 − 8
x→2 x − 2

xn − y n
x→y x − y√
1− x
53. l´
ım
x→1 1 − x
√
1 − 1 − x2
54. l´
ım
x→1
x
√
1 − 1 − x2
55. l´
ım
x→1
x2
52. l´
ım

[Problemas (56)-(59)] Para cada una de las funciones f indicadas a continuaci´n, determina
o
l´
ım

x→1
1
56. f (x) = 2 x2

f (x) − f (2)
x−1

57. f (x) = x2 − 3x + 1

58. f (x) =

1
x

59. f (x) =

1
x2

[Problemas (60)-(64)] Determina la veracidad (falso overdadero) de cada una de las afirmaciones
indicadas.
60. Si l´ f (x) y l´ g(x) existen, entonces l´ [f (x) + g(x)] existe.
ım
ım
ım
x→a

x→a

x→a

61. Si l´ [f (x) + g(x)] existe, entonces l´ f (x) y l´ g(x) existen.
ım
ım
ım
x→a

x→a

x→a

62. Si l´ f (x) y l´ [f (x) + g(x)] existen, entonces l´ g(x) existe.
ım
ım
ım
x→a

x→a

x→a

63. l´ f (x) = l´ [f (a) +...