Límites y continuidad, reglas para evaluar límites...
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Publicado: 9 de diciembre de 2010
1.2 Límite y continuidad
NOCIONES DE: LÍMITE, LÍMITES LATERALES, LÍMITES INFINITOS, Y LÍMITES EN EL INFINITO
1. Límite
Consideremos el comportamiento de la función [pic] cuando [pic] toma valores cada vez más cercanos a cero, pero siempre distintos de cero. Nótese que [pic]; es decir, [pic] no está definida en [pic]:
[pic]
Aunque [pic] no está definida en [pic],podemos apreciar que es posible hacer que [pic] tome valores tan cercanos a [pic] como lo deseemos con sólo hacer que [pic] tome valores cercanos a [pic]; pero siempre diferentes de cero. Entonces, resulta razonable decir que “[pic] tiende a [pic] cuando [pic] tiende a [pic]” y dicha afirmación la representamos con el simbolismo:
[pic].
Definición. Escribimos [pic] y decimos que “el límite de[pic], cuando [pic] tiende al número [pic], es igual al número [pic]” si podemos acercar los valores de [pic] a [pic] (tanto como deseemos) tomando a [pic] lo bastante cerca de [pic], pero no igual a [pic].
Ejemplo. Encontrar [pic] si [pic].
Solución. La función no está definida en [pic], pero no importa porque vamos a considerar el comportamiento de la función cuando [pic] toma valorescercanos a [pic], pero siempre diferentes de [pic]:
[pic]
De acuerdo con la tabla anterior, presumimos que [pic]. Nótese que podemos manipular la función como sigue: [pic], ahora resulta más evidente el comportamiento de la función cuando [pic] tiende a [pic].
2. Límites laterales
Estudiemos el comportamiento de la función [pic] cuando [pic] toma valores cercanos a [pic],pero siempre distintos de [pic]:
[pic]
De la tabla anterior y de la gráfica de [pic] observamos que:
• [pic] cuando [pic] tomando valores cada vez más cercanos a [pic], pero siempre menores que [pic].
• [pic] cuando [pic] tomando valores cada vez más cercanos a [pic], pero siempre mayores que [pic].
Semejantes resultados se designan, respectivamente, como: [pic] y [pic]. Estoslímites se conocen como límites laterales:
Definición. Escribimos [pic] y decimos que “el límite de [pic], cuando [pic] tiende al número [pic] desde la izquierda, es igual al número [pic]” si podemos aproximar los valores de [pic] a [pic], tanto como deseemos, escogiendo a [pic] lo bastante cerca de [pic], pero siempre menor que [pic].
Definición. Escribimos [pic] y decimos que “el límite de[pic], cuando [pic] tiende al número [pic] desde la derecha, es igual al número [pic]” si podemos aproximar los valores de [pic] a [pic], tanto como deseemos, escogiendo a [pic] lo bastante cerca de [pic], pero siempre mayor que [pic].
Existe una relación entre los límites hasta ahora introducidos:
Teorema. [pic] si y sólo si [pic] y [pic].
El teorema anterior representa otravía para determinar el límite de una función en un número: Si existen los límites laterales y son iguales, entonces existe el límite de la función. Por ejemplo:
[pic] por lo que [pic]
Sin embargo, para la función [pic], vimos que[pic] por lo cual concluimos que ¡No existe [pic]!
3. Límites infinitos
Ahora consideremos el comportamiento de la función [pic] cuando [pic]toma valores cada vez más cercanos a cero, pero siempre diferentes de cero:
[pic]
La tabla sugiere que la función [pic] crece cada vez más a medida que [pic] toma valores cada vez más cercanos a cero (tanto mayores como menores que cero). Este comportamiento lo podemos denotar como: [pic] cuando [pic], o bien [pic], lo cual significa que la función no tiene límite. Límites de este tipose llaman límites infinitos:
Definición. Si la función [pic] está definida en ambos lados del número [pic], excepto tal vez en [pic], entonces [pic] significa que los valores de [pic] puede hacerse tan grandes como se quiera tomando [pic] lo suficientemente cerca de [pic], pero no igual a [pic].
Existe una definición análoga a la anterior, pero para el caso en que [pic] cuando...
NOCIONES DE: LÍMITE, LÍMITES LATERALES, LÍMITES INFINITOS, Y LÍMITES EN EL INFINITO
1. Límite
Consideremos el comportamiento de la función [pic] cuando [pic] toma valores cada vez más cercanos a cero, pero siempre distintos de cero. Nótese que [pic]; es decir, [pic] no está definida en [pic]:
[pic]
Aunque [pic] no está definida en [pic],podemos apreciar que es posible hacer que [pic] tome valores tan cercanos a [pic] como lo deseemos con sólo hacer que [pic] tome valores cercanos a [pic]; pero siempre diferentes de cero. Entonces, resulta razonable decir que “[pic] tiende a [pic] cuando [pic] tiende a [pic]” y dicha afirmación la representamos con el simbolismo:
[pic].
Definición. Escribimos [pic] y decimos que “el límite de[pic], cuando [pic] tiende al número [pic], es igual al número [pic]” si podemos acercar los valores de [pic] a [pic] (tanto como deseemos) tomando a [pic] lo bastante cerca de [pic], pero no igual a [pic].
Ejemplo. Encontrar [pic] si [pic].
Solución. La función no está definida en [pic], pero no importa porque vamos a considerar el comportamiento de la función cuando [pic] toma valorescercanos a [pic], pero siempre diferentes de [pic]:
[pic]
De acuerdo con la tabla anterior, presumimos que [pic]. Nótese que podemos manipular la función como sigue: [pic], ahora resulta más evidente el comportamiento de la función cuando [pic] tiende a [pic].
2. Límites laterales
Estudiemos el comportamiento de la función [pic] cuando [pic] toma valores cercanos a [pic],pero siempre distintos de [pic]:
[pic]
De la tabla anterior y de la gráfica de [pic] observamos que:
• [pic] cuando [pic] tomando valores cada vez más cercanos a [pic], pero siempre menores que [pic].
• [pic] cuando [pic] tomando valores cada vez más cercanos a [pic], pero siempre mayores que [pic].
Semejantes resultados se designan, respectivamente, como: [pic] y [pic]. Estoslímites se conocen como límites laterales:
Definición. Escribimos [pic] y decimos que “el límite de [pic], cuando [pic] tiende al número [pic] desde la izquierda, es igual al número [pic]” si podemos aproximar los valores de [pic] a [pic], tanto como deseemos, escogiendo a [pic] lo bastante cerca de [pic], pero siempre menor que [pic].
Definición. Escribimos [pic] y decimos que “el límite de[pic], cuando [pic] tiende al número [pic] desde la derecha, es igual al número [pic]” si podemos aproximar los valores de [pic] a [pic], tanto como deseemos, escogiendo a [pic] lo bastante cerca de [pic], pero siempre mayor que [pic].
Existe una relación entre los límites hasta ahora introducidos:
Teorema. [pic] si y sólo si [pic] y [pic].
El teorema anterior representa otravía para determinar el límite de una función en un número: Si existen los límites laterales y son iguales, entonces existe el límite de la función. Por ejemplo:
[pic] por lo que [pic]
Sin embargo, para la función [pic], vimos que[pic] por lo cual concluimos que ¡No existe [pic]!
3. Límites infinitos
Ahora consideremos el comportamiento de la función [pic] cuando [pic]toma valores cada vez más cercanos a cero, pero siempre diferentes de cero:
[pic]
La tabla sugiere que la función [pic] crece cada vez más a medida que [pic] toma valores cada vez más cercanos a cero (tanto mayores como menores que cero). Este comportamiento lo podemos denotar como: [pic] cuando [pic], o bien [pic], lo cual significa que la función no tiene límite. Límites de este tipose llaman límites infinitos:
Definición. Si la función [pic] está definida en ambos lados del número [pic], excepto tal vez en [pic], entonces [pic] significa que los valores de [pic] puede hacerse tan grandes como se quiera tomando [pic] lo suficientemente cerca de [pic], pero no igual a [pic].
Existe una definición análoga a la anterior, pero para el caso en que [pic] cuando...
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